Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 47, 39, 40, 52, 36, 20, 56.

n = 7

s =

2.Statistik perihalanSukar

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 500 dan sisihan piawai 25. Cari skor-z z bagi skor 450.

μ = 500σ = 25x = 450

z =

3.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.35, 0.05, 0.2, 0.05, 0.35

Var(X) =

4.KebarangkalianSukar

Satu ujian mempunyai 9 soalan aneka pilihan. Seorang pelajar yang meneka mendapat setiap satu betul dengan kebarangkalian 0.4, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P tepat 5 jawapan betul?

n = 9p = 0.4k = 5

P =

5.Taburan normalSederhana

Seret z supaya luas berlorek di bawah lengkung normal piawai, di sebelah kanan z, ialah 0.0548. Cari z hingga dua tempat perpuluhan.

A = 0.0548

z =

6.Taburan normalSukar

skor IQ bertaburan normal dengan min 100 markah dan sisihan piawai 15 markah. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 25% daripadanya (persentil ke-25).

μ = 100σ = 15P = 25%

x = markah

7.Selang keyakinanSederhana

Selang keyakinan 90% bagi suatu min, berdasarkan 100 cerapan dan σ yang diketahui, mempunyai margin ralat 11. Berapakah margin ralat E₂ bagi selang 95% daripada data yang sama?

90%n₁ = 100E₁ = 1195%

E₂ =

8.Selang keyakinanSukar

Sisihan piawai populasi ialah 16. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 90% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 1?

σ = 16E = 190%

n =

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Satu sampel 36 pelajar mempunyai skor min 52.83 dan sisihan piawai sampel 10. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 52.83s = 10n = 36

t =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Satu sampel 49 ukuran mempunyai min 114.2. Sisihan piawai populasi ialah 15. Cari had bawah L selang keyakinan 95% bagi min.

x̄ = 114.2σ = 15n = 4995%

L =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.

n = 6Σx = 42Σy = 76Σx² = 364Σy² = 1102Σxy = 630

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x yang manakah garis meramalkan ŷ = 55?

n = 5ŷ = 55

x =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 11.91

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 290/7 = 41.43

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 5.571² + (−2.429)² + (−1.429)² + 10.57² + (−5.429)² + (−21.43)² + 14.57² = 851.7

Sisihan piawai

s = √(851.7/6) = 11.91

Jawapan

s = 11.91

2.Statistik perihalan

Jawapan: z = −2

Piawaikan

z = (450 − 500)/25 = −2

Jawapan

z = −2

3.Kebarangkalian

Jawapan: Var(X) = 2.9

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 0·0.35 + 1·0.05 + 2·0.2 + 3·0.05 + 4·0.35 = 2

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 0·0.35 + 1·0.05 + 4·0.2 + 9·0.05 + 16·0.35 = 6.9

Varians

Var(X) = 6.9 − 2² = 2.9

Jawapan

Var(X) = 2.9

4.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.1672

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Formula binomial

P(X = 5) = 126·0.4⁵·0.6⁴ = 126·0.01024·0.1296 = 0.1672

Jawapan

P = 0.1672

5.Taburan normal

Jawapan: z = 1.6

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = 1 − 0.0548 = 0.9452

Baca jadual-z secara terbalik

Cari 0.9452 di dalam jadual dan baca z.

z = 1.60

Jawapan

z = 1.60

6.Taburan normal

Jawapan: x = 89.88 markah

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

z untuk persentil

Φ(z) = 0.25 → z = −0.6745

Kembali kepada x

x = 100 + −0.6745·15 = 89.88 markah

Jawapan

x = 89.88 markah

7.Selang keyakinan

Jawapan: E₂ = 13.11

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Nisbah margin

E₂/E₁ = (1.96/1.645)·√(100/100) = 1.191

Margin baharu

E₂ = 11·1.191 = 13.11

Jawapan

E₂ = 13.11

8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 693

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (1.645·16/1)² = 692.7

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 693

Jawapan

n = 693

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = 1.698

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai

SE = 10/√36 = 10/6 = 1.667

Statistik ujian

t = (52.83 − 50)/1.667 = 1.698

Jawapan

t = 1.698

t_{0.025; df = 35} = 2.03

|t| < 2.03, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: L = 110

Margin ralat

E = 1.96·15/√49 = 4.2

Had selang

L = 114.2 − 4.2 = 110

Jawapan

L = 110

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9923

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Hasil tambah berpusat

S_xy = 630 − 42·76/6 = 98

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 1102 − 76²/6 = 139.3

Pekali korelasi

r = 98/√(70·139.3) = 0.9923

Jawapan

r = 0.9923

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: x = 4.041

Min

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 366/5 = 73.2

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 246

Garis regresi

b = 246/40 = 6.15

a = 73.2 − 6.15·7 = 30.15

ŷ = 30.15 + 6.15·x

Selesaikan untuk x

x = (55 − 30.15)/6.15 = 4.041

Jawapan

x = 4.041

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1