Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 57, 14, 56, 55, 23.

n = 5

s =

2.Statistik perihalanSukar

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 100 dan sisihan piawai 8. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 93.6?

μ = 100σ = 8x = 93.6

P =

3.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.

x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.3, 0.35

Var(X) =

4.KebarangkalianSukar

Satu permainan berharga €3 untuk dimain. Anda menang €9 dengan kebarangkalian 0.2 dan €30 dengan kebarangkalian 0.05; jika tidak anda tidak menang apa-apa. Pertaruhan tidak dikembalikan. Cari jangkaan keuntungan bersih E(G) setiap permainan.

pertaruhan = €3€9: p = 0.2€30: p = 0.05

E(G) = €

5.Taburan normalSederhana

X normal dengan min 12 min dan sisihan piawai 1.5 min; Y tak bersandar dan normal dengan min 20 min dan sisihan piawai 2 min. Cari kebarangkalian P bahawa X + Y melebihi 30.8 min. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μ_X = 12, σ_X = 1.5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 30.8 min

P =

6.Taburan normalSukar

skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 65 markah dan sisihan piawai 10 markah. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 99% daripadanya (persentil ke-99).

μ = 65σ = 10P = 99%

x = markah

7.Selang keyakinanSederhana

Satu sampel 20 item mempunyai min 96 dan sisihan piawai s = 10.5. Populasi lebih kurang normal. Cari had atas selang keyakinan 90% untuk min.

n = 20x̄ = 96s = 10.590%t(19) = 1.729

had atas =

8.Selang keyakinanSukar

Tiada apa-apa yang diketahui terlebih dahulu tentang perkadaran produk cacat. Berapa banyak produk n yang mesti diperiksa supaya selang keyakinan 99% bagi perkadaran mempunyai margin ralat selebar-lebarnya 0.02?

p = 0.5E = 0.0299%

n =

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Dua talian pengeluaran membuat bahagian yang sama. Talian 1: sampel 50 bahagian mempunyai min panjang 67 mm, dan sisihan piawai diketahui talian itu ialah 11 mm. Talian 2: sampel 40 bahagian mempunyai min 63.3 mm, sisihan piawai diketahui 4 mm. Cari statistik ujian z bagi H₀: μ₁ = μ₂, dengan mengambil beza sebagai x̄₁ − x̄₂ (talian 1 tolak talian 2).

n₁ = 50x̄₁ = 67 mmσ₁ = 11 mmn₂ = 40x̄₂ = 63.3 mmσ₂ = 4 mm

z =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Satu sampel 49 ukuran mempunyai min 50.5. Sisihan piawai populasi ialah 4. Cari had atas U selang keyakinan 90% bagi min.

x̄ = 50.5σ = 4n = 4990%

U =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.

n = 5Σx = 30Σy = 68Σx² = 220Σy² = 1086Σxy = 488

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (8, 57) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.

n = 5(8, 57)

e =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 20.8

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 205/5 = 41

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 16² + (−27)² + 15² + 14² + (−18)² = 1730

Sisihan piawai

s = √(1730/4) = 20.8

Jawapan

s = 20.8

2.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.2119

Piawaikan

z = −0.8

Jadual normal piawai

Φ(−0.8) = 0.2119

P = 0.2119

Jawapan

P = 0.2119

3.Kebarangkalian

Jawapan: Var(X) = 0.7

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 0·0.35 + 1·0.3 + 2·0.35 = 1

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 0·0.35 + 1·0.3 + 4·0.35 = 1.7

Varians

Var(X) = 1.7 − 1² = 0.7

Jawapan

Var(X) = 0.7

4.Kebarangkalian

Jawapan: E(G) = 0.3 €

Hasil bersih

G: 6 (p = 0.2), 27 (p = 0.05), −3 (p = 0.75)

Nilai jangkaan

E(G) = 6·0.2 + 27·0.05 − 3·0.75 = 0.3 €

Jawapan

E(G) = 0.3 €

Nilai positif bermaksud anda memperoleh wang secara purata.

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.6844

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan hasil tambah

μ = 32 min, σ = √(1.5² + 2²) = 2.5 min

Piawaikan

z = (30.8 − 32)/2.5 = −0.48

Ekor atas

P = 1 − Φ(−0.48) = 1 − 0.3156 = 0.6844

Jawapan

P = 0.6844

6.Taburan normal

Jawapan: x = 88.26 markah

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

z untuk persentil

Φ(z) = 0.99 → z = 2.326

Kembali kepada x

x = 65 + 2.326·10 = 88.26 markah

Jawapan

x = 88.26 markah

7.Selang keyakinan

Jawapan: had atas = 100.1

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 19, t = 1.729

Margin ralat

E = 1.729·10.5/√20 = 4.059

Selang

96 ± 4.059 → [91.94, 100.1]

Jawapan

had atas = 100.1

8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 4148

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

Selesaikan untuk n

n = 2.576²·0.5·0.5/0.02² = 4147

Bundarkan ke atas

n = 4148

Jawapan

n = 4148

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: z = 2.203

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Ralat piawai bagi beza

SE = √(11²/50 + 4²/40) = √2.82 = 1.679

Statistik ujian

z = (67 − 63.3)/1.679 = 2.203

Jawapan

z = 2.203

|z| > 1.96, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: U = 51.44

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Margin ralat

E = 1.645·4/√49 = 0.94

Had selang

U = 50.5 + 0.94 = 51.44

Jawapan

U = 51.44

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9963

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Hasil tambah berpusat

S_xy = 488 − 30·68/5 = 80

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 1086 − 68²/5 = 161.2

Pekali korelasi

r = 80/√(40·161.2) = 0.9963

Jawapan

r = 0.9963

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: e = 4.05

Min

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 256/5 = 51.2

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 70

Garis regresi

b = 70/40 = 1.75

a = 51.2 − 1.75·7 = 38.95

ŷ = 38.95 + 1.75·x

Nilai ramalan

ŷ = 38.95 + 1.75·8 = 52.95

Reja

e = 57 − 52.95 = 4.05

Jawapan

e = 4.05

Titik itu terletak di atas garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1