Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 43, 10, 60, 15, 46, 25.

n = 6

s =

2.Statistik perihalanSukar

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 70 dan sisihan piawai 15. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 47.5?

μ = 70σ = 15x = 47.5

P =

3.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.05, 0.35, 0.25, 0.35

Var(X) =

4.KebarangkalianSukar

7 komponen diuji, dan setiap satu gagal dengan kebarangkalian 0.6, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P paling banyak satu gagal?

n = 7p = 0.6

P =

5.Taburan normalSederhana

X normal dengan min 120 mm dan sisihan piawai 0.3 mm; Y tak bersandar dan normal dengan min 80 mm dan sisihan piawai 0.4 mm. Cari kebarangkalian P bahawa X + Y melebihi 201 mm. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μ_X = 120, σ_X = 0.3μ_Y = 80, σ_Y = 0.4X + Y > 201 mm

P =

6.Taburan normalSukar

skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 65 markah dan sisihan piawai 10 markah. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 25% daripadanya (persentil ke-25).

μ = 65σ = 10P = 25%

x = markah

7.Selang keyakinanSederhana

Satu sampel 11 item mempunyai min 100 dan sisihan piawai s = 1.5. Populasi lebih kurang normal. Cari had atas selang keyakinan 95% untuk min.

n = 11x̄ = 100s = 1.595%t(10) = 2.228

had atas =

8.Selang keyakinanSukar

Sisihan piawai populasi ialah 35. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 99% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 1.5?

σ = 35E = 1.599%

n =

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Dua kaedah pengajaran dibandingkan. Kumpulan 1: 16 pelajar, skor min 91.5, sisihan piawai 4.5. Kumpulan 2: 15 pelajar, skor min 95, sisihan piawai 3.5. Andaikan varians populasi sama dan gunakan ujian t dua sampel terkumpul. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ₁ = μ₂, dengan mengambil beza sebagai x̄₁ − x̄₂ (kumpulan 1 tolak kumpulan 2).

n₁ = 16x̄₁ = 91.5s₁ = 4.5n₂ = 15x̄₂ = 95s₂ = 3.5

t =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Seberapa besarkah sampel mesti supaya selang keyakinan 90% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 2? Sisihan piawai ialah 5. Cari saiz sampel terkecil n.

σ = 5E = 290%

n =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Cari pekali penentuan r² bagi garis kuasa dua terkecil.

n = 5

r² =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (8, 108) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.

n = 5(8, 108)

e =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 19.57

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 199/6 = 33.17

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 9.833² + (−23.17)² + 26.83² + (−18.17)² + 12.83² + (−8.167)² = 1915

Sisihan piawai

s = √(1915/5) = 19.57

Jawapan

s = 19.57

2.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.06681

Piawaikan

z = −1.5

Jadual normal piawai

Φ(−1.5) = 0.06681

P = 0.06681

Jawapan

P = 0.06681

3.Kebarangkalian

Jawapan: Var(X) = 3.56

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 0·0.05 + 2·0.35 + 4·0.25 + 6·0.35 = 3.8

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 0·0.05 + 4·0.35 + 16·0.25 + 36·0.35 = 18

Varians

Var(X) = 18 − 3.8² = 3.56

Jawapan

Var(X) = 3.56

4.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.01884

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Sifar dan satu kegagalan

P(X = 0) = 0.4⁷ = 0.001638

P(X = 1) = 7·0.6·0.4⁶ = 0.0172

Tambahkannya

P = 0.001638 + 0.0172 = 0.01884

Jawapan

P = 0.01884

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.02275

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan hasil tambah

μ = 200 mm, σ = √(0.3² + 0.4²) = 0.5 mm

Piawaikan

z = (201 − 200)/0.5 = 2

Ekor atas

P = 1 − Φ(2) = 1 − 0.9772 = 0.02275

Jawapan

P = 0.02275

6.Taburan normal

Jawapan: x = 58.26 markah

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

z untuk persentil

Φ(z) = 0.25 → z = −0.6745

Kembali kepada x

x = 65 + −0.6745·10 = 58.26 markah

Jawapan

x = 58.26 markah

7.Selang keyakinan

Jawapan: had atas = 101

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 10, t = 2.228

Margin ralat

E = 2.228·1.5/√11 = 1.008

Selang

100 ± 1.008 → [98.99, 101]

Jawapan

had atas = 101

8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 3613

Selesaikan untuk n

n = (2.576·35/1.5)² = 3613

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 3613

Jawapan

n = 3613

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = −2.406

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Varians terkumpul

s_p² = (15·4.5² + 14·3.5²)/29 = 16.39

s_p = 4.048

Ralat piawai

SE = 4.048·√(1/16 + 1/15) = 1.455

Statistik ujian

t = (91.5 − 95)/1.455 = −2.406

Jawapan

t = −2.406

Dengan df = 29, nilai genting 5% dua sisi ialah 2.045; |t| lebih besar, maka H₀ ditolak.

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: n = 17

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Selesaikan untuk n

n = (1.645·5/2)² = 16.91

Bundarkan ke atas

n = 17

Jawapan

n = 17

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r² = 0.9777

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 102/5 = 20.4

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 140

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 501.2

Pekali penentuan

r² = 140²/(40·501.2) = 0.9777

Jawapan

r² = 0.9777

Kira-kira 97.77% variasi dalam y diterangkan oleh garis itu.

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: e = 2.35

Min

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 496/5 = 99.2

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 258

Garis regresi

b = 258/40 = 6.45

a = 99.2 − 6.45·7 = 54.05

ŷ = 54.05 + 6.45·x

Nilai ramalan

ŷ = 54.05 + 6.45·8 = 105.7

Reja

e = 108 − 105.7 = 2.35

Jawapan

e = 2.35

Titik itu terletak di atas garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1