Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 60, 14, 58, 37, 35.

n = 5

s =

2.Statistik perihalanSukar

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 60 dan sisihan piawai 10. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 48?

μ = 60σ = 10x = 48

P =

3.KebarangkalianSederhana

Satu dadu adil digolek 5 kali. Berapakah kebarangkalian P mendapat sekurang-kurangnya satu enam?

n = 5

P =

4.KebarangkalianSukar

Satu ujian mempunyai 5 soalan aneka pilihan. Seorang pelajar yang meneka mendapat setiap satu betul dengan kebarangkalian 0.2, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P tepat 4 jawapan betul?

n = 5p = 0.2k = 4

P =

5.Taburan normalSederhana

X normal dengan min 12 min dan sisihan piawai 1.5 min; Y tak bersandar dan normal dengan min 20 min dan sisihan piawai 2 min. Cari kebarangkalian P bahawa X + Y melebihi 35.8 min. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μ_X = 12, σ_X = 1.5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 35.8 min

P =

6.Taburan normalSukar

ketinggian lelaki dewasa bertaburan normal dengan min 178 cm dan sisihan piawai 7 cm. Seret titik pemotong supaya 15% terbawah yang berlorek berada di sebelah kirinya. Cari titik pemotong x.

μ = 178 cmσ = 7 cm15%

x = cm

7.Selang keyakinanSederhana

Satu sampel 12 item mempunyai min 99 dan sisihan piawai s = 15.5. Populasi lebih kurang normal. Cari had bawah selang keyakinan 99% untuk min.

n = 12x̄ = 99s = 15.599%t(11) = 3.106

had bawah =

8.Selang keyakinanSukar

Diameter 20 aci yang dimesin mempunyai sisihan piawai sampel 0.6 µm. Dengan mengandaikan diameter bertaburan normal, cari had bawah σ selang keyakinan 95% bagi sisihan piawai populasi. Dengan df = 19, 2.5% taburan χ² terletak di bawah 8.907 dan 2.5% terletak di atas 32.852.

n = 20s = 0.6 µmχ² = 8.907, 32.852

σ = µm

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Min sesuatu populasi dituntut sebagai 120; sisihan piawai populasi diketahui ialah 10. Satu sampel rawak 25 cerapan mempunyai min 115. Uji H₀: μ = 120 terhadap H₁: μ < 120. Cari nilai-p p.

μ₀ = 120σ = 10n = 25x̄ = 115H₁: μ < μ₀

p =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Ujian z satu sisi pada α = 0.01 mesti mengesan anjakan min sebanyak 5 unit dengan kuasa 95%. Sisihan piawai ialah 14. Cari saiz sampel minimum n.

α = 0.01kuasa = 95%δ = 5σ = 14z_α = 2.326z_β = 1.645

n =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.

n = 6Σx = 21Σy = 117Σx² = 91Σy² = 2339Σxy = 380

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (4.5, 28) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.

n = 5(4.5, 28)

e =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 18.91

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 204/5 = 40.8

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 19.2² + (−26.8)² + 17.2² + (−3.8)² + (−5.8)² = 1431

Sisihan piawai

s = √(1431/4) = 18.91

Jawapan

s = 18.91

2.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.8849

Piawaikan

z = −1.2

Jadual normal piawai

Φ(−1.2) = 0.1151

P = 1 − 0.1151 = 0.8849

Jawapan

P = 0.8849

3.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.5981

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pelengkap

P(tiada enam) = (5/6)⁵ = 0.4019

P = 1 − 0.4019 = 0.5981

Jawapan

P = 0.5981

4.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.0064

Formula binomial

P(X = 4) = 5·0.2⁴·0.8¹ = 5·0.0016·0.8 = 0.0064

Jawapan

P = 0.0064

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.06426

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan hasil tambah

μ = 32 min, σ = √(1.5² + 2²) = 2.5 min

Piawaikan

z = (35.8 − 32)/2.5 = 1.52

Ekor atas

P = 1 − Φ(1.52) = 1 − 0.9357 = 0.06426

Jawapan

P = 0.06426

6.Taburan normal

Jawapan: x = 170.7 cm

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0.15

z daripada jadual

z ≈ −1.04

Kembali kepada unit asal

x = 178 − 1.04·7 = 170.7 cm

Jawapan

x = 170.7 cm

7.Selang keyakinan

Jawapan: had bawah = 85.1

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 11, t = 3.106

Margin ralat

E = 3.106·15.5/√12 = 13.9

Selang

99 ± 13.9 → [85.1, 112.9]

Jawapan

had bawah = 85.1

8.Selang keyakinan

Jawapan: σ = 0.4563 µm

Selang bagi suatu varians: (n − 1)s²/σ² mempunyai taburan χ² dengan darjah kebebasan n − 1. Selang 95% bagi σ² bermula daripada (n − 1)s² dibahagi nilai χ² atas (2.5% di atasnya) hingga (n − 1)s² dibahagi nilai χ² bawah (2.5% di bawahnya); selang bagi σ ialah punca kuasa dua kedua-dua had. Ia tidak simetri di sekitar s.

Hasil tambah kuasa dua

(n − 1)s² = 19·0.6² = 6.84

Had bagi σ²

6.84/32.852 = 0.2082

6.84/8.907 = 0.7679

Had bagi σ

σ = √0.2082 = 0.4563 µm

Jawapan

σ = 0.4563 µm

Selang 95% bagi σ: [0.4563, 0.8763] µm.

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: p = 0.00621

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Statistik ujian

SE = σ/√n = 10/√25 = 2

z = (115 − 120)/2 = −2.5

Luas ekor

Φ(2.5) = 0.9938

1 − Φ(2.5) = 0.0062

Nilai-p

p = 0.00621

Jawapan

p = 0.00621

p ≤ 0.05, maka H₀ ditolak pada aras 5%.

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: n = 124

Saiz sampel untuk ujian: untuk mengesan anjakan benar δ dengan kuasa 1 − β dalam ujian z satu sisi pada aras α, ralat piawai mesti memenuhi δ = (z_α + z_β)·σ/√n, maka n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = ((2.326 + 1.645)·14/5)² = 123.6

Bundarkan ke atas

n = 124

Jawapan

n = 124

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = −0.93

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Hasil tambah berpusat

S_xy = 380 − 21·117/6 = −29.5

S_xx = 91 − 21²/6 = 17.5

S_yy = 2339 − 117²/6 = 57.5

Pekali korelasi

r = −29.5/√(17.5·57.5) = −0.93

Jawapan

r = −0.93

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: e = 5.05

Min

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 123/5 = 24.6

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −11

Garis regresi

b = −11/10 = −1.1

a = 24.6 − (−1.1)·3 = 27.9

ŷ = 27.9 − 1.1·x

Nilai ramalan

ŷ = 27.9 + (−1.1)·4.5 = 22.95

Reja

e = 28 − 22.95 = 5.05

Jawapan

e = 5.05

Titik itu terletak di atas garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1