Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 21, 41, 47, 23, 44.

n = 5

s =

2.Statistik perihalanSukar

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 500 dan sisihan piawai 25. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 550?

μ = 500σ = 25x = 550

P =

3.KebarangkalianSederhana

Sebuah beg mengandungi 5 bebola merah dan 5 biru. Anda mengambil dua bebola tanpa memulangkan yang pertama. Berapakah kebarangkalian P kedua-duanya merah?

5 / 5

P =

4.KebarangkalianSukar

12 komponen diuji, dan setiap satu gagal dengan kebarangkalian 0.25, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P paling banyak satu gagal?

n = 12p = 0.25

P =

5.Taburan normalSederhana

Jisim beg simen adalah tak bersandar dan normal dengan min 25 kg dan sisihan piawai 0.5 kg. Cari kebarangkalian P bahawa jumlah jisim 6 daripadanya melebihi 150.6 kg. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 6> 150.6 kg

P =

6.Taburan normalSukar

skor IQ bertaburan normal dengan min 100 markah dan sisihan piawai 15 markah. Seret titik pemotong supaya 60% teratas yang berlorek berada di sebelah kanannya. Cari titik pemotong x.

μ = 100 markahσ = 15 markah60%

x = markah

7.Selang keyakinanSederhana

Satu sampel 16 item mempunyai min 74.5 dan sisihan piawai s = 4. Populasi lebih kurang normal. Cari had atas selang keyakinan 99% untuk min.

n = 16x̄ = 74.5s = 499%t(15) = 2.947

had atas =

8.Selang keyakinanSukar

Dua baja diuji. Kumpulan petak 1: 20 petak, min hasil 24.5 kg, sisihan piawai 7 kg. Kumpulan petak 2: 11 petak, min 35.5 kg, sisihan piawai 3.5 kg. Andaikan varians sama (t terkumpul, df = n₁ + n₂ − 2). Cari had bawah selang keyakinan 95% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 20x̄₁ = 24.5s₁ = 7n₂ = 11x̄₂ = 35.5s₂ = 3.595%t(29) = 2.045

had bawah = kg

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Satu sampel 36 pelajar mempunyai skor min 51.75 dan sisihan piawai sampel 15. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 51.75s = 15n = 36

t =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Satu sampel 49 ukuran mempunyai min 73.3. Sisihan piawai populasi ialah 5. Cari had bawah L selang keyakinan 90% bagi min.

x̄ = 73.3σ = 5n = 4990%

L =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Cari pekali korelasi Pearson r.

n = 5

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 2.5.

n = 6x = 2.5

ŷ =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 12.26

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 176/5 = 35.2

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−14.2)² + 5.8² + 11.8² + (−12.2)² + 8.8² = 600.8

Sisihan piawai

s = √(600.8/4) = 12.26

Jawapan

s = 12.26

2.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.02275

Piawaikan

z = 2

Jadual normal piawai

Φ(2) = 0.9772

P = 1 − 0.9772 = 0.02275

Jawapan

P = 0.02275

3.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.2222

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pengambilan pertama dan kedua

P = 5/10 · 4/9 = 20/90 = 0.2222

Jawapan

P = 0.2222

4.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.1584

Sifar dan satu kegagalan

P(X = 0) = 0.75¹² = 0.03168

P(X = 1) = 12·0.25·0.75¹¹ = 0.1267

Tambahkannya

P = 0.03168 + 0.1267 = 0.1584

Jawapan

P = 0.1584

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.3121

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan jumlah

μ_T = 150 kg, σ_T = 0.5·√6 = 1.225 kg

Piawaikan

z = (150.6 − 150)/1.225 = 0.49

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(0.49) = 0.3121

Jawapan

P = 0.3121

6.Taburan normal

Jawapan: x = 96.3 markah

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0.4

z daripada jadual

z ≈ −0.25

Kembali kepada unit asal

x = 100 − 0.25·15 = 96.3 markah

Jawapan

x = 96.3 markah

7.Selang keyakinan

Jawapan: had atas = 77.45

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 15, t = 2.947

Margin ralat

E = 2.947·4/√16 = 2.947

Selang

74.5 ± 2.947 → [71.55, 77.45]

Jawapan

had atas = 77.45

8.Selang keyakinan

Jawapan: had bawah = −15.63 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Sisihan piawai terkumpul

s_p² = (19·7² + 10·3.5²)/29 = 36.33

s_p = 6.027

Margin ralat

E = 2.045·6.027·√(1/20 + 1/11) = 4.627

Selang

−11 ± 4.627 → [−15.63, −6.373]

Jawapan

had bawah = −15.63 kg

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = 0.7

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai

SE = 15/√36 = 15/6 = 2.5

Statistik ujian

t = (51.75 − 50)/2.5 = 0.7

Jawapan

t = 0.7

t_{0.025; df = 35} = 2.03

|t| < 2.03, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: L = 72.13

Margin ralat

E = 1.645·5/√49 = 1.175

Had selang

L = 73.3 − 1.175 = 72.13

Jawapan

L = 72.13

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9969

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 140/5 = 28

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 150

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 566

Pekali korelasi

r = 150/√(40·566) = 0.9969

Jawapan

r = 0.9969

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: ŷ = 50.55

Min

x̄ = 27/6 = 4.5

ȳ = 377/6 = 62.83

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 107.5

Garis regresi

b = 107.5/17.5 = 6.143

a = 62.83 − 6.143·4.5 = 35.19

ŷ = 35.19 + 6.143·x

Ramalan

ŷ = 35.19 + 6.143·2.5 = 50.55

Jawapan

ŷ = 50.55

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1