Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 47, 55, 59, 33, 21.

n = 5

s =

2.Statistik perihalanSukar

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 170 dan sisihan piawai 20. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 182?

μ = 170σ = 20x = 182

P =

3.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.35, 0.1, 0.35, 0.1, 0.1

σ =

4.KebarangkalianSukar

X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = −2X + 10. Cari sisihan piawai σ_Y bagi Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.3, 0.3, 0.05, 0.3, 0.05Y = −2X + 10

σ_Y =

5.Taburan normalSederhana

skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 65 markah dan sisihan piawai 10 markah. Berapakah pecahan yang terletak antara 55 dan 85.5 markah? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 65σ = 10x₁ = 55x₂ = 85.5

P =

6.Taburan normalSukar

ketinggian lelaki dewasa bertaburan normal dengan min 178 cm dan sisihan piawai 7 cm. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 5% daripadanya (persentil ke-5).

μ = 178σ = 7P = 5%

x = cm

7.Selang keyakinanSederhana

Hayat bateri dua model telefon dibandingkan. Model 1: 80 telefon, min 67 j, sisihan piawai diketahui 18 j. Model 2: 60 telefon, min 70.5 j, sisihan piawai diketahui 12 j. Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 99% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 80x̄₁ = 67 hσ₁ = 18 hn₂ = 60x̄₂ = 70.5 hσ₂ = 12 h99%

E = h

8.Selang keyakinanSukar

Sisihan piawai populasi ialah 25. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 90% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 2.5?

σ = 25E = 2.590%

n =

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Dua talian pengeluaran membuat bahagian yang sama. Talian 1: sampel 100 bahagian mempunyai min panjang 133 mm, dan sisihan piawai diketahui talian itu ialah 9 mm. Talian 2: sampel 40 bahagian mempunyai min 128.5 mm, sisihan piawai diketahui 9 mm. Cari statistik ujian z bagi H₀: μ₁ = μ₂, dengan mengambil beza sebagai x̄₁ − x̄₂ (talian 1 tolak talian 2).

n₁ = 100x̄₁ = 133 mmσ₁ = 9 mmn₂ = 40x̄₂ = 128.5 mmσ₂ = 9 mm

z =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Dalam satu percubaan, 163 daripada 250 pesakit yang menerima rawatan A sembuh, dan 74 daripada 100 pesakit yang menerima rawatan B. Dengan menggunakan perkadaran terkumpul, cari statistik ujian z bagi H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 163n₁ = 250x₂ = 74n₂ = 100

z =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.

n = 6Σx = 42Σy = 191Σx² = 364Σy² = 7165Σxy = 1612

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x yang manakah garis meramalkan ŷ = 73?

n = 6ŷ = 73

x =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 15.81

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 215/5 = 43

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 4² + 12² + 16² + (−10)² + (−22)² = 1000

Sisihan piawai

s = √(1000/4) = 15.81

Jawapan

s = 15.81

2.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.2743

Piawaikan

z = 0.6

Jadual normal piawai

Φ(0.6) = 0.7257

P = 1 − 0.7257 = 0.2743

Jawapan

P = 0.2743

3.Kebarangkalian

Jawapan: σ = 1.323

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 1·0.35 + 2·0.1 + 3·0.35 + 4·0.1 + 5·0.1 = 2.5

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 1·0.35 + 4·0.1 + 9·0.35 + 16·0.1 + 25·0.1 = 8

Varians

Var(X) = 8 − 2.5² = 1.75

σ = √1.75 = 1.323

Jawapan

σ = 1.323

4.Kebarangkalian

Jawapan: σ_Y = 2.646

Serakan X

μ = 1.5, Var(X) = 1.75, σ_X = 1.323

Perubahan linear

σ_Y = |−2|·1.323 = 2.646

Jawapan

σ_Y = 2.646

Min memang berubah: E(Y) = −2·1.5 + 10 = 7.

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.8212

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (55 − 65)/10 = −1

z₂ = (85.5 − 65)/10 = 2.05

Luas antara

P = Φ(2.05) − Φ(−1) = 0.9798 − 0.1587 = 0.8212

Jawapan

P = 0.8212

6.Taburan normal

Jawapan: x = 166.5 cm

z untuk persentil

Φ(z) = 0.05 → z = −1.645

Kembali kepada x

x = 178 + −1.645·7 = 166.49 cm

Jawapan

x = 166.49 cm

7.Selang keyakinan

Jawapan: E = 6.542 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Anggaran titik

x̄₁ − x̄₂ = 67 − 70.5 = −3.5

Ralat piawai

SE = √(18²/80 + 12²/60) = 2.54

Margin ralat

E = 2.576·2.54 = 6.542

Jawapan

E = 6.542 h

Selang itu mengandungi 0, maka data tidak menunjukkan beza yang signifikan.

8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 271

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (1.645·25/2.5)² = 270.6

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 271

Jawapan

n = 271

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: z = 2.673

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Ralat piawai bagi beza

SE = √(9²/100 + 9²/40) = √2.835 = 1.684

Statistik ujian

z = (133 − 128.5)/1.684 = 2.673

Jawapan

z = 2.673

|z| > 1.96, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: z = −1.591

Perkadaran sampel

p̂₁ = 163/250 = 0.652

p̂₂ = 74/100 = 0.74

p̂ = 237/350 = 0.6771

Ralat piawai di bawah H₀

SE = √(0.6771·0.3229·(1/250 + 1/100)) = 0.05532

Statistik ujian

z = (0.652 − 0.74)/0.05532 = −1.591

Jawapan

z = −1.591

|z| < 1.96, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9979

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Hasil tambah berpusat

S_xy = 1612 − 42·191/6 = 275

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 7165 − 191²/6 = 1085

Pekali korelasi

r = 275/√(70·1085) = 0.9979

Jawapan

r = 0.9979

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: x = 7.471

Min

x̄ = 33/6 = 5.5

ȳ = 388/6 = 64.67

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 74

Garis regresi

b = 74/17.5 = 4.229

a = 64.67 − 4.229·5.5 = 41.41

ŷ = 41.41 + 4.229·x

Selesaikan untuk x

x = (73 − 41.41)/4.229 = 7.471

Jawapan

x = 7.471

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1