Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 24, 30, 58, 16, 32.

n = 5

s =

2.Statistik perihalanSukar

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 500 dan sisihan piawai 75. Cari skor-z z bagi skor 387.5.

μ = 500σ = 75x = 387.5

z =

3.KebarangkalianSederhana

Sebuah beg mengandungi 5 bebola merah dan 9 biru. Anda mengambil dua bebola tanpa memulangkan yang pertama. Berapakah kebarangkalian P kedua-duanya merah?

5 / 9

P =

4.KebarangkalianSukar

7 komponen diuji, dan setiap satu gagal dengan kebarangkalian 0.25, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P paling banyak satu gagal?

n = 7p = 0.25

P =

5.Taburan normalSederhana

hayat bateri bertaburan normal dengan min 500 h dan sisihan piawai 40 h. Berapakah pecahan yang terletak antara 502 dan 574 h? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 500σ = 40x₁ = 502x₂ = 574

P =

6.Taburan normalSukar

hayat bateri bertaburan normal dengan min 500 h dan sisihan piawai 40 h. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 90% daripadanya (persentil ke-90).

μ = 500σ = 40P = 90%

x = h

7.Selang keyakinanSederhana

Satu sampel 16 item mempunyai min 118.5 dan sisihan piawai s = 15. Populasi lebih kurang normal. Cari had bawah selang keyakinan 95% untuk min.

n = 16x̄ = 118.5s = 1595%t(15) = 2.131

had bawah =

8.Selang keyakinanSukar

Dua baja diuji. Kumpulan petak 1: 6 petak, min hasil 60.5 kg, sisihan piawai 8.5 kg. Kumpulan petak 2: 8 petak, min 50 kg, sisihan piawai 4 kg. Andaikan varians sama (t terkumpul, df = n₁ + n₂ − 2). Cari had atas selang keyakinan 95% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 6x̄₁ = 60.5s₁ = 8.5n₂ = 8x̄₂ = 50s₂ = 495%t(12) = 2.179

had atas = kg

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Dua kaedah pengajaran dibandingkan. Kumpulan 1: 8 pelajar, skor min 90.5, sisihan piawai 3. Kumpulan 2: 23 pelajar, skor min 96.9, sisihan piawai 7. Andaikan varians populasi sama dan gunakan ujian t dua sampel terkumpul. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ₁ = μ₂, dengan mengambil beza sebagai x̄₁ − x̄₂ (kumpulan 1 tolak kumpulan 2).

n₁ = 8x̄₁ = 90.5s₁ = 3n₂ = 23x̄₂ = 96.9s₂ = 7

t =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Ujian z satu sisi bagi H₀: μ = 200 terhadap H₁: μ < 200 dijalankan pada α = 0.01 dengan sampel 100; sisihan piawai diketahui ialah 25. Pada hakikatnya min ialah 191. Cari kuasa 1 − β ujian itu dalam peratus.

μ₀ = 200μ = 191σ = 25n = 100α = 0.01

1 − β = %

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.

n = 6Σx = 42Σy = 144Σx² = 364Σy² = 4142Σxy = 1226

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 3.5.

n = 6x = 3.5

ŷ =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 15.81

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 160/5 = 32

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−8)² + (−2)² + 26² + (−16)² + 0² = 1000

Sisihan piawai

s = √(1000/4) = 15.81

Jawapan

s = 15.81

2.Statistik perihalan

Jawapan: z = −1.5

Piawaikan

z = (387.5 − 500)/75 = −1.5

Jawapan

z = −1.5

3.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.1099

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pengambilan pertama dan kedua

P = 5/14 · 4/13 = 20/182 = 0.1099

Jawapan

P = 0.1099

4.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.4449

Sifar dan satu kegagalan

P(X = 0) = 0.75⁷ = 0.1335

P(X = 1) = 7·0.25·0.75⁶ = 0.3115

Tambahkannya

P = 0.1335 + 0.3115 = 0.4449

Jawapan

P = 0.4449

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.4479

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (502 − 500)/40 = 0.05

z₂ = (574 − 500)/40 = 1.85

Luas antara

P = Φ(1.85) − Φ(0.05) = 0.9678 − 0.5199 = 0.4479

Jawapan

P = 0.4479

6.Taburan normal

Jawapan: x = 551.3 h

z untuk persentil

Φ(z) = 0.9 → z = 1.282

Kembali kepada x

x = 500 + 1.282·40 = 551.26 h

Jawapan

x = 551.26 h

7.Selang keyakinan

Jawapan: had bawah = 110.5

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 15, t = 2.131

Margin ralat

E = 2.131·15/√16 = 7.991

Selang

118.5 ± 7.991 → [110.5, 126.5]

Jawapan

had bawah = 110.5

8.Selang keyakinan

Jawapan: had atas = 17.89 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Sisihan piawai terkumpul

s_p² = (5·8.5² + 7·4²)/12 = 39.44

s_p = 6.28

Margin ralat

E = 2.179·6.28·√(1/6 + 1/8) = 7.39

Selang

10.5 ± 7.39 → [3.11, 17.89]

Jawapan

had atas = 17.89 kg

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = −2.486

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Varians terkumpul

s_p² = (7·3² + 22·7²)/29 = 39.34

s_p = 6.273

Ralat piawai

SE = 6.273·√(1/8 + 1/23) = 2.575

Statistik ujian

t = (90.5 − 96.9)/2.575 = −2.486

Jawapan

t = −2.486

Dengan df = 29, nilai genting 5% dua sisi ialah 2.045; |t| lebih besar, maka H₀ ditolak.

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: 1 − β = 89.87 %

Kuasa ujian: kuasa = 1 − β ialah kebarangkalian menolak H₀ apabila ia salah. Cari nilai pemotongan x̄c daripada μ₀ dan z_α, kemudian hitung kebarangkalian jatuh melepasi x̄c menggunakan min sebenar: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Min sampel genting

SE = 25/√100 = 2.5

x̄_c = 200 − 2.326·2.5 = 194.2

z di bawah min sebenar

z = (194.2 − 191)/2.5 = 1.274

Kuasa

kuasa = P(Z < 1.274) = 89.87%

1 − β = 89.87%

Jawapan

1 − β = 89.87%

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9948

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Hasil tambah berpusat

S_xy = 1226 − 42·144/6 = 218

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 4142 − 144²/6 = 686

Pekali korelasi

r = 218/√(70·686) = 0.9948

Jawapan

r = 0.9948

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: ŷ = 67.39

Min

x̄ = 27/6 = 4.5

ȳ = 440/6 = 73.33

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 104

Garis regresi

b = 104/17.5 = 5.943

a = 73.33 − 5.943·4.5 = 46.59

ŷ = 46.59 + 5.943·x

Ramalan

ŷ = 46.59 + 5.943·3.5 = 67.39

Jawapan

ŷ = 67.39

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1