Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
2Soalan latihan
1.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 21, 28, 51, 15, 41.
n = 5
s =
2.Statistik perihalanSukar
Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 60 dan sisihan piawai 12. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 72?
μ = 60σ = 12x = 72
P =
3.KebarangkalianSederhana
Satu dadu adil digolek 5 kali. Berapakah kebarangkalian P mendapat sekurang-kurangnya satu enam?
n = 5
P =
4.KebarangkalianSukar
Satu permainan berharga €2 untuk dimain. Anda menang €8 dengan kebarangkalian 0.1 dan €100 dengan kebarangkalian 0.02; jika tidak anda tidak menang apa-apa. Pertaruhan tidak dikembalikan. Cari jangkaan keuntungan bersih E(G) setiap permainan.
pertaruhan = €2€8: p = 0.1€100: p = 0.02
E(G) = €
5.Taburan normalSederhana
hayat bateri bertaburan normal dengan min 500 h dan sisihan piawai 40 h. Berapakah pecahan yang terletak antara 480 dan 520 h? Berikan P sebagai perpuluhan.
μ = 500σ = 40x1 = 480x2 = 520
P =
6.Taburan normalSukar
hayat bateri bertaburan normal dengan min 500 h dan sisihan piawai 40 h. Seret titik pemotong supaya 20% terbawah yang berlorek berada di sebelah kirinya. Cari titik pemotong x.
μ = 500 hσ = 40 h20%
x = h
7.Selang keyakinanSederhana
Hayat bateri dua model telefon dibandingkan. Model 1: 80 telefon, min 88 j, sisihan piawai diketahui 3 j. Model 2: 30 telefon, min 97 j, sisihan piawai diketahui 3 j. Cari had bawah selang keyakinan 95% untuk μ₁ − μ₂.
n₁ = 80x̄₁ = 88 hσ₁ = 3 hn₂ = 30x̄₂ = 97 hσ₂ = 3 h95%
had bawah = h
8.Selang keyakinanSukar
Diameter 15 aci yang dimesin mempunyai sisihan piawai sampel 4.7 µm. Dengan mengandaikan diameter bertaburan normal, cari had atas σ selang keyakinan 95% bagi sisihan piawai populasi. Dengan df = 14, 2.5% taburan χ² terletak di bawah 5.629 dan 2.5% terletak di atas 26.119.
n = 15s = 4.7 µmχ² = 5.629, 26.119
σ = µm
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
Satu sampel 49 pelajar mempunyai skor min 196.9 dan sisihan piawai sampel 12. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 196.9s = 12n = 49
t =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Satu sampel 36 ukuran mempunyai min 117.2. Sisihan piawai populasi ialah 10. Cari had atas U selang keyakinan 95% bagi min.
x̄ = 117.2σ = 10n = 3695%
U =
11.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.
n = 5Σx = 30Σy = 89Σx² = 220Σy² = 1961Σxy = 656
r =
12.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (5.5, 7) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.
n = 6(5.5, 7)
e =
3Larutan
1.Statistik perihalan
Jawapan: s = 14.7
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 156/5 = 31.2
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = (−10.2)² + (−3.2)² + 19.8² + (−16.2)² + 9.8² = 864.8
Sisihan piawai
s = √(864.8/4) = 14.7
Jawapan
s = 14.7
2.Statistik perihalan
Jawapan: P = 0.1587
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = 1
Jadual normal piawai
Φ(1) = 0.8413
P = 1 − 0.8413 = 0.1587
Jawapan
P = 0.1587
3.Kebarangkalian
Jawapan: P = 0.5981
Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Pelengkap
P(tiada enam) = (5/6)5 = 0.4019
P = 1 − 0.4019 = 0.5981
Jawapan
P = 0.5981
4.Kebarangkalian
Jawapan: E(G) = 0.8 €
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Hasil bersih
G: 6 (p = 0.1), 98 (p = 0.02), −2 (p = 0.88)
Nilai jangkaan
E(G) = 6·0.1 + 98·0.02 − 2·0.88 = 0.8 €
Jawapan
E(G) = 0.8 €
Nilai positif bermaksud anda memperoleh wang secara purata.
5.Taburan normal
Jawapan: P = 0.3829
Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.
Skor-z
z₁ = (480 − 500)/40 = −0.5
z₂ = (520 − 500)/40 = 0.5
Luas antara
P = Φ(0.5) − Φ(−0.5) = 0.6915 − 0.3085 = 0.3829
Jawapan
P = 0.3829
6.Taburan normal
Jawapan: x = 466 h
Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri
Φ(z) = 0.2
z daripada jadual
z ≈ −0.84
Kembali kepada unit asal
x = 500 − 0.84·40 = 466 h
Jawapan
x = 466 h
7.Selang keyakinan
Jawapan: had bawah = −10.26 h
Selang bagi suatu beza: anggaran ± nilai genting × ralat piawai. Bagi dua min bebas dengan σ diketahui: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) dan z. Dengan varians sama yang tidak diketahui: s_p terkumpul dan t dengan darjah kebebasan n₁ + n₂ − 2. Bagi data berpasangan, kerjakan pada beza: d̄ ± t·s_d/√n.
Anggaran titik
x̄₁ − x̄₂ = 88 − 97 = −9
Ralat piawai
SE = √(3²/80 + 3²/30) = 0.6423
Margin ralat
E = 1.96·0.6423 = 1.259
Selang
−9 ± 1.259 → [−10.26, −7.741]
Jawapan
had bawah = −10.26 h
Selang itu tidak mengandungi 0, maka min berbeza dengan signifikan.
8.Selang keyakinan
Jawapan: σ = 7.412 µm
Selang bagi suatu varians: (n − 1)s²/σ² mempunyai taburan χ² dengan darjah kebebasan n − 1. Selang 95% bagi σ² bermula daripada (n − 1)s² dibahagi nilai χ² atas (2.5% di atasnya) hingga (n − 1)s² dibahagi nilai χ² bawah (2.5% di bawahnya); selang bagi σ ialah punca kuasa dua kedua-dua had. Ia tidak simetri di sekitar s.
Hasil tambah kuasa dua
(n − 1)s² = 14·4.7² = 309.3
Had bagi σ²
309.3/26.119 = 11.84
309.3/5.629 = 54.94
Had bagi σ
σ = √54.94 = 7.412 µm
Jawapan
σ = 7.412 µm
Selang 95% bagi σ: [3.441, 7.412] µm.
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: t = −1.808
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Ralat piawai
SE = 12/√49 = 12/7 = 1.714
Statistik ujian
t = (196.9 − 200)/1.714 = −1.808
Jawapan
t = −1.808
t0.025; df = 48 = 2.011
|t| < 2.011, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).
10.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: U = 120.5
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Margin ralat
E = 1.96·10/√36 = 3.267
Had selang
U = 117.2 + 3.267 = 120.5
Jawapan
U = 120.5
11.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r = 0.9937
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Hasil tambah berpusat
Sxy = 656 − 30·89/5 = 122
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 1961 − 89²/5 = 376.8
Pekali korelasi
r = 122/√(40·376.8) = 0.9937
Jawapan
r = 0.9937
12.Regresi linear & korelasi
Jawapan: e = −3.933
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 104/6 = 17.33
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −56
Garis regresi
b = −56/17.5 = −3.2
a = 17.33 − (−3.2)·3.5 = 28.53
ŷ = 28.53 − 3.2·x
Nilai ramalan
ŷ = 28.53 + (−3.2)·5.5 = 10.93
Reja
e = 7 − 10.93 = −3.933
Jawapan
e = −3.933
Titik itu terletak di bawah garis.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1