Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 40, 15, 55, 47, 51, 19, 14.

n = 7

s =

2.Statistik perihalanSukar

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 70 dan sisihan piawai 15. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 55?

μ = 70σ = 15x = 55

P =

3.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.

x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.35, 0.3

σ =

4.KebarangkalianSukar

Satu permainan berharga €5 untuk dimain. Anda menang €10 dengan kebarangkalian 0.3 dan €250 dengan kebarangkalian 0.02; jika tidak anda tidak menang apa-apa. Pertaruhan tidak dikembalikan. Cari jangkaan keuntungan bersih E(G) setiap permainan.

pertaruhan = €5€10: p = 0.3€250: p = 0.02

E(G) = €

5.Taburan normalSederhana

Seret z supaya luas berlorek di bawah lengkung normal piawai, di sebelah kanan z, ialah 0.9608. Cari z hingga dua tempat perpuluhan.

A = 0.9608

z =

6.Taburan normalSukar

skor IQ bertaburan normal dengan min 100 markah dan sisihan piawai 15 markah. Seret titik pemotong supaya 90% teratas yang berlorek berada di sebelah kanannya. Cari titik pemotong x.

μ = 100 markahσ = 15 markah90%

x = markah

7.Selang keyakinanSederhana

Satu sampel 13 item mempunyai min 93 dan sisihan piawai s = 19. Populasi lebih kurang normal. Cari had atas selang keyakinan 90% untuk min.

n = 13x̄ = 93s = 1990%t(12) = 1.782

had atas =

8.Selang keyakinanSukar

Sisihan piawai populasi ialah 11. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 99% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 1?

σ = 11E = 199%

n =

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Min sesuatu populasi dituntut sebagai 100; sisihan piawai populasi diketahui ialah 9. Satu sampel rawak 36 cerapan mempunyai min 103.27. Uji H₀: μ = 100 terhadap H₁: μ > 100. Cari nilai-p p.

μ₀ = 100σ = 9n = 36x̄ = 103.27H₁: μ > μ₀

p =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Dalam satu percubaan, 40 daripada 100 pesakit yang menerima rawatan A sembuh, dan 48 daripada 100 pesakit yang menerima rawatan B. Dengan menggunakan perkadaran terkumpul, cari statistik ujian z bagi H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 40n₁ = 100x₂ = 48n₂ = 100

z =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Cari pekali korelasi Pearson r.

n = 6

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x yang manakah garis meramalkan ŷ = 102?

n = 5ŷ = 102

x =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 17.89

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 241/7 = 34.43

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 5.571² + (−19.43)² + 20.57² + 12.57² + 16.57² + (−15.43)² + (−20.43)² = 1920

Sisihan piawai

s = √(1920/6) = 17.89

Jawapan

s = 17.89

2.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.1587

Piawaikan

z = −1

Jadual normal piawai

Φ(−1) = 0.1587

P = 0.1587

Jawapan

P = 0.1587

3.Kebarangkalian

Jawapan: σ = 0.8047

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 0·0.35 + 1·0.35 + 2·0.3 = 0.95

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 0·0.35 + 1·0.35 + 4·0.3 = 1.55

Varians

Var(X) = 1.55 − 0.95² = 0.6475

σ = √0.6475 = 0.8047

Jawapan

σ = 0.8047

4.Kebarangkalian

Jawapan: E(G) = 3 €

Hasil bersih

G: 5 (p = 0.3), 245 (p = 0.02), −5 (p = 0.68)

Nilai jangkaan

E(G) = 5·0.3 + 245·0.02 − 5·0.68 = 3 €

Jawapan

E(G) = 3 €

Nilai positif bermaksud anda memperoleh wang secara purata.

5.Taburan normal

Jawapan: z = −1.76

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = 1 − 0.9608 = 0.0392

Baca jadual-z secara terbalik

Cari 0.0392 di dalam jadual dan baca z.

z = −1.76

Jawapan

z = −1.76

6.Taburan normal

Jawapan: x = 80.8 markah

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0.1

z daripada jadual

z ≈ −1.28

Kembali kepada unit asal

x = 100 − 1.28·15 = 80.8 markah

Jawapan

x = 80.8 markah

7.Selang keyakinan

Jawapan: had atas = 102.4

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 12, t = 1.782

Margin ralat

E = 1.782·19/√13 = 9.391

Selang

93 ± 9.391 → [83.61, 102.4]

Jawapan

had atas = 102.4

8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 803

Selesaikan untuk n

n = (2.576·11/1)² = 802.9

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 803

Jawapan

n = 803

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: p = 0.01463

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Statistik ujian

SE = σ/√n = 9/√36 = 1.5

z = (103.27 − 100)/1.5 = 2.18

Luas ekor

Φ(2.18) = 0.9854

1 − Φ(2.18) = 0.0146

Nilai-p

p = 0.01463

Jawapan

p = 0.01463

p ≤ 0.05, maka H₀ ditolak pada aras 5%.

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: z = −1.14

Perkadaran sampel

p̂₁ = 40/100 = 0.4

p̂₂ = 48/100 = 0.48

p̂ = 88/200 = 0.44

Ralat piawai di bawah H₀

SE = √(0.44·0.56·(1/100 + 1/100)) = 0.0702

Statistik ujian

z = (0.4 − 0.48)/0.0702 = −1.14

Jawapan

z = −1.14

|z| < 1.96, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9744

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 126/6 = 21

ȳ = 532/6 = 88.67

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 366

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2015

Pekali korelasi

r = 366/√(70·2015) = 0.9744

Jawapan

r = 0.9744

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: x = 19.93

Min

x̄ = 95/5 = 19

ȳ = 481/5 = 96.2

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 250

Garis regresi

b = 250/40 = 6.25

a = 96.2 − 6.25·19 = −22.55

ŷ = −22.55 + 6.25·x

Selesaikan untuk x

x = (102 − (−22.55))/6.25 = 19.93

Jawapan

x = 19.93

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1