Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min
x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang tersusun
Skor-z
z = (x − μ)/σ
Taburan normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap
P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Taburan normal

Skor-z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Kaedah

  1. Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
  4. Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

  1. Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
  2. Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
  3. Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1.96
Selang keyakinan
x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
  2. Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
  4. Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan
b = Sxy/Sxx
Pintasan
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Reja
e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana
1520253035404550

Cari sisihan piawai sampel s data: 23, 50, 36, 12, 39, 35, 21.

n = 7
s =
2.Statistik perihalanSukar
z −2−1012

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 50 dan sisihan piawai 10. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 40?

μ = 50σ = 10x = 40
P =
3.KebarangkalianSederhana
xp(x)10.2520.3530.1540.0550.2μ = 2.6

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.25, 0.35, 0.15, 0.05, 0.2
σ =
4.KebarangkalianSukar
n = 6, p = 0.5: P(X = 3) = ?k0123456

Satu ujian mempunyai 6 soalan aneka pilihan. Seorang pelajar yang meneka mendapat setiap satu betul dengan kebarangkalian 0.5, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P tepat 3 jawapan betul?

n = 6p = 0.5k = 3
P =
5.Taburan normalSederhana
−3−2−10123zluas berlorek antara −z dan z = 0.5407

Seret z supaya luas berlorek antara −z dan z di bawah lengkung normal piawai ialah 0.5407. Cari z hingga dua tempat perpuluhan.

A = 0.5407
z =
6.Taburan normalSukar
μ = 500x = ?75%

hayat bateri bertaburan normal dengan min 500 h dan sisihan piawai 40 h. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 75% daripadanya (persentil ke-75).

μ = 500σ = 40P = 75%
x = h
7.Selang keyakinanSederhana
n = 20, s = 5LUx̄ = 73E = ?95%

Satu sampel 20 item mempunyai min 73 dan sisihan piawai s = 5. Populasi lebih kurang normal. Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 95% untuk min.

n = 20x̄ = 73s = 595%t(19) = 2.093
E =
8.Selang keyakinanSukar
σ = 22, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 490%

Sisihan piawai populasi ialah 22. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 90% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 4?

σ = 22E = 490%
n =
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
t −1.98401.984

Satu sampel 100 pelajar mempunyai skor min 498.2 dan sisihan piawai sampel 8. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 498.2s = 8n = 100
t =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
−1.961.96z = ?

Dalam satu percubaan, 83 daripada 150 pesakit yang menerima rawatan A sembuh, dan 66 daripada 150 pesakit yang menerima rawatan B. Dengan menggunakan perkadaran terkumpul, cari statistik ujian z bagi H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 83n₁ = 150x₂ = 66n₂ = 150
z =
11.Regresi linear & korelasiSederhana
xy358469571678787xy4660708090

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.

n = 5Σx = 25Σy = 363Σx² = 135Σy² = 26819Σxy = 1882
r =
12.Regresi linear & korelasiSukar
xy2494566588631071xy510506070x = 3

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 3.

n = 5x = 3
ŷ =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 12.85

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 216/7 = 30.86

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−7.857)² + 19.14² + 5.143² + (−18.86)² + 8.143² + 4.143² + (−9.857)² = 990.9

Sisihan piawai

s = √(990.9/6) = 12.85

Jawapan

s = 12.85
2.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.1587

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Piawaikan

z = −1

Jadual normal piawai

Φ(−1) = 0.1587
P = 0.1587

Jawapan

P = 0.1587
3.Kebarangkalian

Jawapan: σ = 1.428

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 1·0.25 + 2·0.35 + 3·0.15 + 4·0.05 + 5·0.2 = 2.6

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 1·0.25 + 4·0.35 + 9·0.15 + 16·0.05 + 25·0.2 = 8.8

Varians

Var(X) = 8.8 − 2.6² = 2.04
σ = √2.04 = 1.428

Jawapan

σ = 1.428
4.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.3125

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Formula binomial

P(X = 3) = 20·0.53·0.53 = 20·0.125·0.125 = 0.3125

Jawapan

P = 0.3125
5.Taburan normal

Jawapan: z = 0.74

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = (1 + 0.5407)/2 = 0.7704

Baca jadual-z secara terbalik

Cari 0.7704 di dalam jadual dan baca z.

z = 0.74

Jawapan

z = 0.74
6.Taburan normal

Jawapan: x = 527 h

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

z untuk persentil

Φ(z) = 0.75 → z = 0.6745

Kembali kepada x

x = 500 + 0.6745·40 = 526.98 h

Jawapan

x = 526.98 h
7.Selang keyakinan

Jawapan: E = 2.34

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 19, t = 2.093

Margin ralat

E = 2.093·5/√20 = 2.34

Jawapan

E = 2.34
8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 82

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (1.645·22/4)² = 81.86

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 82

Jawapan

n = 82
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = −2.25

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai

SE = 8/√100 = 8/10 = 0.8

Statistik ujian

t = (498.2 − 500)/0.8 = −2.25

Jawapan

t = −2.25
t0.025; df = 99 = 1.984

|t| > 1.984, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: z = 1.963

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Perkadaran sampel

p̂₁ = 83/150 = 0.5533
p̂₂ = 66/150 = 0.44
p̂ = 149/300 = 0.4967

Ralat piawai di bawah H₀

SE = √(0.4967·0.5033·(1/150 + 1/150)) = 0.05773

Statistik ujian

z = (0.5533 − 0.44)/0.05773 = 1.963

Jawapan

z = 1.963

|z| > 1.96, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9823

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Hasil tambah berpusat

Sxy = 1882 − 25·363/5 = 67
Sxx = 135 − 25²/5 = 10
Syy = 26819 − 363²/5 = 465.2

Pekali korelasi

r = 67/√(10·465.2) = 0.9823

Jawapan

r = 0.9823
12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: ŷ = 51.75

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 297/5 = 59.4

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 102

Garis regresi

b = 102/40 = 2.55
a = 59.4 − 2.55·6 = 44.1
ŷ = 44.1 + 2.55·x

Ramalan

ŷ = 44.1 + 2.55·3 = 51.75

Jawapan

ŷ = 51.75

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1