Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 47, 60, 28, 59, 36, 18.

n = 6

s =

2.Statistik perihalanSukar

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 500 dan sisihan piawai 40. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 516?

μ = 500σ = 40x = 516

P =

3.KebarangkalianSederhana

Dalam berapa cara N satu jawatankuasa 3 orang boleh dipilih daripada kumpulan 6? Susunan tidak penting.

n = 6k = 3

N =

4.KebarangkalianSukar

X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 3X + 1. Cari sisihan piawai σ_Y bagi Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.35, 0.1, 0.2, 0.35Y = 3X + 1

σ_Y =

5.Taburan normalSederhana

X normal dengan min 120 mm dan sisihan piawai 0.3 mm; Y tak bersandar dan normal dengan min 80 mm dan sisihan piawai 0.4 mm. Cari kebarangkalian P bahawa X + Y melebihi 199.3 mm. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μ_X = 120, σ_X = 0.3μ_Y = 80, σ_Y = 0.4X + Y > 199.3 mm

P =

6.Taburan normalSukar

Jisim X produk daripada barisan 1 dan Y daripada barisan 2 adalah tak bersandar dan normal: X mempunyai min 500 g dan sisihan piawai 8 g, Y mempunyai min 490 g dan sisihan piawai 6 g. Cari kebarangkalian P bahawa X lebih besar daripada Y. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

7.Selang keyakinanSederhana

Tekanan darah 16 pesakit diukur sebelum dan selepas rawatan. Beza d = sebelum − selepas (mmHg) mempunyai min 7.5 dan sisihan piawai 7.4. Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 95% untuk min beza.

n = 16d̄ = 7.5s_d = 7.495%t(15) = 2.131

E = mmHg

8.Selang keyakinanSukar

Satu kajian rintis mencadangkan bahawa kira-kira 0.3 produk adalah cacat. Berapa banyak produk n yang mesti diperiksa supaya selang keyakinan 99% bagi perkadaran mempunyai margin ralat selebar-lebarnya 0.05?

p ≈ 0.3E = 0.0599%

n =

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Satu sampel 49 pelajar mempunyai skor min 48.4 dan sisihan piawai sampel 8. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 48.4s = 8n = 49

t =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Dalam satu percubaan, 40 daripada 80 pesakit yang menerima rawatan A sembuh, dan 53 daripada 150 pesakit yang menerima rawatan B. Dengan menggunakan perkadaran terkumpul, cari statistik ujian z bagi H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 40n₁ = 80x₂ = 53n₂ = 150

z =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.

n = 5Σx = 90Σy = 492Σx² = 1660Σy² = 50110Σxy = 9112

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (6, 60) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.

n = 6(6, 60)

e =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 16.99

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 248/6 = 41.33

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 5.667² + 18.67² + (−13.33)² + 17.67² + (−5.333)² + (−23.33)² = 1443

Sisihan piawai

s = √(1443/5) = 16.99

Jawapan

s = 16.99

2.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.6554

Piawaikan

z = 0.4

Jadual normal piawai

Φ(0.4) = 0.6554

P = 0.6554

Jawapan

P = 0.6554

3.Kebarangkalian

Jawapan: N = 20

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Gabungan

C(6, 3) = (6·5·4)/(3·2·1) = 20

Jawapan

N = 20

4.Kebarangkalian

Jawapan: σ_Y = 3.851

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Serakan X

μ = 2.55, Var(X) = 1.647, σ_X = 1.284

Perubahan linear

σ_Y = |3|·1.284 = 3.851

Jawapan

σ_Y = 3.851

Min memang berubah: E(Y) = 3·2.55 + 1 = 8.65.

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.9192

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan hasil tambah

μ = 200 mm, σ = √(0.3² + 0.4²) = 0.5 mm

Piawaikan

z = (199.3 − 200)/0.5 = −1.4

Ekor atas

P = 1 − Φ(−1.4) = 1 − 0.08076 = 0.9192

Jawapan

P = 0.9192

6.Taburan normal

Jawapan: P = 0.8413

Taburan beza

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Piawaikan

z = (0 − 10)/10 = −1

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(−1) = 0.8413

Jawapan

P = 0.8413

7.Selang keyakinan

Jawapan: E = 3.942 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nilai genting

df = 15, t = 2.131

Margin ralat

E = 2.131·7.4/√16 = 3.942

Jawapan

E = 3.942 mmHg

8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 558

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

Selesaikan untuk n

n = 2.576²·0.3·0.7/0.05² = 557.4

Bundarkan ke atas

n = 558

Jawapan

n = 558

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = −1.4

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai

SE = 8/√49 = 8/7 = 1.143

Statistik ujian

t = (48.4 − 50)/1.143 = −1.4

Jawapan

t = −1.4

t_{0.025; df = 48} = 2.011

|t| < 2.011, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: z = 2.159

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Perkadaran sampel

p̂₁ = 40/80 = 0.5

p̂₂ = 53/150 = 0.3533

p̂ = 93/230 = 0.4043

Ralat piawai di bawah H₀

SE = √(0.4043·0.5957·(1/80 + 1/150)) = 0.06794

Statistik ujian

z = (0.5 − 0.3533)/0.06794 = 2.159

Jawapan

z = 2.159

|z| > 1.96, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9825

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Hasil tambah berpusat

S_xy = 9112 − 90·492/5 = 256

S_xx = 1660 − 90²/5 = 40

S_yy = 50110 − 492²/5 = 1697

Pekali korelasi

r = 256/√(40·1697) = 0.9825

Jawapan

r = 0.9825

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: e = 2.224

Min

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 401/6 = 66.83

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 317

Garis regresi

b = 317/70 = 4.529

a = 66.83 − 4.529·8 = 30.6

ŷ = 30.6 + 4.529·x

Nilai ramalan

ŷ = 30.6 + 4.529·6 = 57.78

Reja

e = 60 − 57.78 = 2.224

Jawapan

e = 2.224

Titik itu terletak di atas garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1