Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 19, 10, 57, 52, 49, 45.

n = 6

s =

2.Statistik perihalanSukar

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 70 dan sisihan piawai 10. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 65?

μ = 70σ = 10x = 65

P =

3.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.35, 0.1, 0.3, 0.05, 0.2

Var(X) =

4.KebarangkalianSukar

Satu permainan berharga €1 untuk dimain. Anda menang €4 dengan kebarangkalian 0.25 dan €10 dengan kebarangkalian 0.02; jika tidak anda tidak menang apa-apa. Pertaruhan tidak dikembalikan. Cari jangkaan keuntungan bersih E(G) setiap permainan.

pertaruhan = €1€4: p = 0.25€10: p = 0.02

E(G) = €

5.Taburan normalSederhana

Seret z supaya luas berlorek di bawah lengkung normal piawai, di sebelah kanan z, ialah 0.0559. Cari z hingga dua tempat perpuluhan.

A = 0.0559

z =

6.Taburan normalSukar

ketinggian lelaki dewasa bertaburan normal dengan min 178 cm dan sisihan piawai 7 cm. Seret titik pemotong supaya 70% teratas yang berlorek berada di sebelah kanannya. Cari titik pemotong x.

μ = 178 cmσ = 7 cm70%

x = cm

7.Selang keyakinanSederhana

Tekanan darah 7 pesakit diukur sebelum dan selepas rawatan. Beza d = sebelum − selepas (mmHg) mempunyai min −2.1 dan sisihan piawai 7.1. Cari had atas selang keyakinan 95% untuk min beza.

n = 7d̄ = −2.1s_d = 7.195%t(6) = 2.447

had atas = mmHg

8.Selang keyakinanSukar

Tiada apa-apa yang diketahui terlebih dahulu tentang perkadaran produk cacat. Berapa banyak produk n yang mesti diperiksa supaya selang keyakinan 95% bagi perkadaran mempunyai margin ralat selebar-lebarnya 0.03?

p = 0.5E = 0.0395%

n =

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Dua talian pengeluaran membuat bahagian yang sama. Talian 1: sampel 30 bahagian mempunyai min panjang 125.5 mm, dan sisihan piawai diketahui talian itu ialah 7 mm. Talian 2: sampel 100 bahagian mempunyai min 124.6 mm, sisihan piawai diketahui 7 mm. Cari statistik ujian z bagi H₀: μ₁ = μ₂, dengan mengambil beza sebagai x̄₁ − x̄₂ (talian 1 tolak talian 2).

n₁ = 30x̄₁ = 125.5 mmσ₁ = 7 mmn₂ = 100x̄₂ = 124.6 mmσ₂ = 7 mm

z =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Dalam satu percubaan, 175 daripada 250 pesakit yang menerima rawatan A sembuh, dan 110 daripada 150 pesakit yang menerima rawatan B. Dengan menggunakan perkadaran terkumpul, cari statistik ujian z bagi H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 175n₁ = 250x₂ = 110n₂ = 150

z =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Cari pekali penentuan r² bagi garis kuasa dua terkecil.

n = 6

r² =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 9.

n = 6x = 9

ŷ =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 19.34

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 232/6 = 38.67

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−19.67)² + (−28.67)² + 18.33² + 13.33² + 10.33² + 6.333² = 1869

Sisihan piawai

s = √(1869/5) = 19.34

Jawapan

s = 19.34

2.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.3085

Piawaikan

z = −0.5

Jadual normal piawai

Φ(−0.5) = 0.3085

P = 0.3085

Jawapan

P = 0.3085

3.Kebarangkalian

Jawapan: Var(X) = 2.228

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 0·0.35 + 1·0.1 + 2·0.3 + 3·0.05 + 4·0.2 = 1.65

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 0·0.35 + 1·0.1 + 4·0.3 + 9·0.05 + 16·0.2 = 4.95

Varians

Var(X) = 4.95 − 1.65² = 2.228

Jawapan

Var(X) = 2.228

4.Kebarangkalian

Jawapan: E(G) = 0.2 €

Hasil bersih

G: 3 (p = 0.25), 9 (p = 0.02), −1 (p = 0.73)

Nilai jangkaan

E(G) = 3·0.25 + 9·0.02 − 1·0.73 = 0.2 €

Jawapan

E(G) = 0.2 €

Nilai positif bermaksud anda memperoleh wang secara purata.

5.Taburan normal

Jawapan: z = 1.59

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = 1 − 0.0559 = 0.9441

Baca jadual-z secara terbalik

Cari 0.9441 di dalam jadual dan baca z.

z = 1.59

Jawapan

z = 1.59

6.Taburan normal

Jawapan: x = 174.4 cm

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0.3

z daripada jadual

z ≈ −0.52

Kembali kepada unit asal

x = 178 − 0.52·7 = 174.4 cm

Jawapan

x = 174.4 cm

7.Selang keyakinan

Jawapan: had atas = 4.467 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nilai genting

df = 6, t = 2.447

Margin ralat

E = 2.447·7.1/√7 = 6.567

Selang

−2.1 ± 6.567 → [−8.667, 4.467]

Jawapan

had atas = 4.467 mmHg

8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 1068

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

Selesaikan untuk n

n = 1.96²·0.5·0.5/0.03² = 1067

Bundarkan ke atas

n = 1068

Jawapan

n = 1068

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: z = 0.6176

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Ralat piawai bagi beza

SE = √(7²/30 + 7²/100) = √2.123 = 1.457

Statistik ujian

z = (125.5 − 124.6)/1.457 = 0.6176

Jawapan

z = 0.6176

|z| < 1.96, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: z = −0.7131

Perkadaran sampel

p̂₁ = 175/250 = 0.7

p̂₂ = 110/150 = 0.7333

p̂ = 285/400 = 0.7125

Ralat piawai di bawah H₀

SE = √(0.7125·0.2875·(1/250 + 1/150)) = 0.04674

Statistik ujian

z = (0.7 − 0.7333)/0.04674 = −0.7131

Jawapan

z = −0.7131

|z| < 1.96, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r² = 0.9683

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 63/6 = 10.5

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 129

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 245.5

Pekali penentuan

r² = 129²/(70·245.5) = 0.9683

Jawapan

r² = 0.9683

Kira-kira 96.83% variasi dalam y diterangkan oleh garis itu.

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: ŷ = 77.1

Min

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 411/6 = 68.5

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 301

Garis regresi

b = 301/70 = 4.3

a = 68.5 − 4.3·7 = 38.4

ŷ = 38.4 + 4.3·x

Ramalan

ŷ = 38.4 + 4.3·9 = 77.1

Jawapan

ŷ = 77.1

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1