Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 41, 43, 60, 58, 22, 23.

n = 6

s =

2.Statistik perihalanSukar

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 100 dan sisihan piawai 5. Cari skor-z z bagi skor 106.3.

μ = 100σ = 5x = 106.3

z =

3.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.25, 0.35, 0.2, 0.2

Var(X) =

4.KebarangkalianSukar

10 komponen diuji, dan setiap satu gagal dengan kebarangkalian 0.5, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P paling banyak satu gagal?

n = 10p = 0.5

P =

5.Taburan normalSederhana

masa penghantaran bertaburan normal dengan min 32 min dan sisihan piawai 6 min. Berapakah pecahan yang terletak antara 30.5 dan 35 min? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 32σ = 6x₁ = 30.5x₂ = 35

P =

6.Taburan normalSukar

berat beg bertaburan normal dengan min 250 g dan sisihan piawai 5 g. Seret titik pemotong supaya 5% teratas yang berlorek berada di sebelah kanannya. Cari titik pemotong x.

μ = 250 gσ = 5 g5%

x = g

7.Selang keyakinanSederhana

Tekanan darah 12 pesakit diukur sebelum dan selepas rawatan. Beza d = sebelum − selepas (mmHg) mempunyai min 2.5 dan sisihan piawai 1.9. Cari had bawah selang keyakinan 95% untuk min beza.

n = 12d̄ = 2.5s_d = 1.995%t(11) = 2.201

had bawah = mmHg

8.Selang keyakinanSukar

Dua baja diuji. Kumpulan petak 1: 23 petak, min hasil 69.5 kg, sisihan piawai 6.5 kg. Kumpulan petak 2: 8 petak, min 73 kg, sisihan piawai 6 kg. Andaikan varians sama (t terkumpul, df = n₁ + n₂ − 2). Cari had bawah selang keyakinan 90% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 23x̄₁ = 69.5s₁ = 6.5n₂ = 8x̄₂ = 73s₂ = 690%t(29) = 1.699

had bawah = kg

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Min sesuatu populasi dituntut sebagai 80; sisihan piawai populasi diketahui ialah 24. Satu sampel rawak 36 cerapan mempunyai min 85.68. Uji H₀: μ = 80 terhadap H₁: μ > 80. Cari nilai-p p.

μ₀ = 80σ = 24n = 36x̄ = 85.68H₁: μ > μ₀

p =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Satu sampel 16 ukuran mempunyai min 492.5. Sisihan piawai populasi ialah 15. Cari had atas U selang keyakinan 95% bagi min.

x̄ = 492.5σ = 15n = 1695%

U =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Cari pekali korelasi Pearson r.

n = 5

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (7, 42) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.

n = 5(7, 42)

e =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 16.36

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 247/6 = 41.17

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−0.1667)² + 1.833² + 18.83² + 16.83² + (−19.17)² + (−18.17)² = 1339

Sisihan piawai

s = √(1339/5) = 16.36

Jawapan

s = 16.36

2.Statistik perihalan

Jawapan: z = 1.25

Piawaikan

z = (106.3 − 100)/5 = 1.25

Jawapan

z = 1.25

3.Kebarangkalian

Jawapan: Var(X) = 112.8

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 10·0.25 + 20·0.35 + 30·0.2 + 40·0.2 = 23.5

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 100·0.25 + 400·0.35 + 900·0.2 + 1600·0.2 = 665

Varians

Var(X) = 665 − 23.5² = 112.8

Jawapan

Var(X) = 112.8

4.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.01074

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Sifar dan satu kegagalan

P(X = 0) = 0.5¹⁰ = 0.0009766

P(X = 1) = 10·0.5·0.5⁹ = 0.009766

Tambahkannya

P = 0.0009766 + 0.009766 = 0.01074

Jawapan

P = 0.01074

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.2902

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (30.5 − 32)/6 = −0.25

z₂ = (35 − 32)/6 = 0.5

Luas antara

P = Φ(0.5) − Φ(−0.25) = 0.6915 − 0.4013 = 0.2902

Jawapan

P = 0.2902

6.Taburan normal

Jawapan: x = 258.2 g

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0.95

z daripada jadual

z ≈ 1.64

Kembali kepada unit asal

x = 250 + 1.64·5 = 258.2 g

Jawapan

x = 258.2 g

7.Selang keyakinan

Jawapan: had bawah = 1.293 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nilai genting

df = 11, t = 2.201

Margin ralat

E = 2.201·1.9/√12 = 1.207

Selang

2.5 ± 1.207 → [1.293, 3.707]

Jawapan

had bawah = 1.293 mmHg

8.Selang keyakinan

Jawapan: had bawah = −7.951 kg

Sisihan piawai terkumpul

s_p² = (22·6.5² + 7·6²)/29 = 40.74

s_p = 6.383

Margin ralat

E = 1.699·6.383·√(1/23 + 1/8) = 4.451

Selang

−3.5 ± 4.451 → [−7.951, 0.9513]

Jawapan

had bawah = −7.951 kg

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: p = 0.0778

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Statistik ujian

SE = σ/√n = 24/√36 = 4

z = (85.68 − 80)/4 = 1.42

Luas ekor

Φ(1.42) = 0.9222

1 − Φ(1.42) = 0.0778

Nilai-p

p = 0.0778

Jawapan

p = 0.0778

p > 0.05, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5%.

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: U = 499.9

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Margin ralat

E = 1.96·15/√16 = 7.35

Had selang

U = 492.5 + 7.35 = 499.9

Jawapan

U = 499.9

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = −0.9843

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 91/5 = 18.2

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 86.8

Pekali korelasi

r = −29/√(10·86.8) = −0.9843

Jawapan

r = −0.9843

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: e = −4.7

Min

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 219/5 = 43.8

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 116

Garis regresi

b = 116/40 = 2.9

a = 43.8 − 2.9·6 = 26.4

ŷ = 26.4 + 2.9·x

Nilai ramalan

ŷ = 26.4 + 2.9·7 = 46.7

Reja

e = 42 − 46.7 = −4.7

Jawapan

e = −4.7

Titik itu terletak di bawah garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1