Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 23, 15, 27, 47, 43.

n = 5

s =

2.Statistik perihalanSukar

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 100 dan sisihan piawai 5. Cari skor-z z bagi skor 95.

μ = 100σ = 5x = 95

z =

3.KebarangkalianSederhana

Sebuah beg mengandungi 6 bebola merah dan 7 biru. Anda mengambil dua bebola tanpa memulangkan yang pertama. Berapakah kebarangkalian P kedua-duanya merah?

6 / 7

P =

4.KebarangkalianSukar

10 komponen diuji, dan setiap satu gagal dengan kebarangkalian 0.2, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P paling banyak satu gagal?

n = 10p = 0.2

P =

5.Taburan normalSederhana

X normal dengan min 60 s dan sisihan piawai 5 s; Y tak bersandar dan normal dengan min 45 s dan sisihan piawai 4 s. Cari kebarangkalian P bahawa X + Y melebihi 110.1 s. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 110.1 s

P =

6.Taburan normalSukar

hayat bateri bertaburan normal dengan min 500 h dan sisihan piawai 40 h. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 95% daripadanya (persentil ke-95).

μ = 500σ = 40P = 95%

x = h

7.Selang keyakinanSederhana

Satu sampel 10 item mempunyai min 18.5 dan sisihan piawai s = 19. Populasi lebih kurang normal. Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 99% untuk min.

n = 10x̄ = 18.5s = 1999%t(9) = 3.25

E =

8.Selang keyakinanSukar

Sisihan piawai populasi ialah 36. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 99% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 1?

σ = 36E = 199%

n =

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Min sesuatu populasi dituntut sebagai 80; sisihan piawai populasi diketahui ialah 5. Satu sampel rawak 100 cerapan mempunyai min 80.95. Uji H₀: μ = 80 terhadap H₁: μ > 80. Cari nilai-p p.

μ₀ = 80σ = 5n = 100x̄ = 80.95H₁: μ > μ₀

p =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Satu sampel 81 ukuran mempunyai min 51.5. Sisihan piawai populasi ialah 12. Cari had atas U selang keyakinan 99% bagi min.

x̄ = 51.5σ = 12n = 8199%

U =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Cari pekali korelasi Pearson r.

n = 6

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (2.5, 17) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.

n = 5(2.5, 17)

e =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 13.56

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 155/5 = 31

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−8)² + (−16)² + (−4)² + 16² + 12² = 736

Sisihan piawai

s = √(736/4) = 13.56

Jawapan

s = 13.56

2.Statistik perihalan

Jawapan: z = −1

Piawaikan

z = (95 − 100)/5 = −1

Jawapan

z = −1

3.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.1923

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pengambilan pertama dan kedua

P = 6/13 · 5/12 = 30/156 = 0.1923

Jawapan

P = 0.1923

4.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.3758

Sifar dan satu kegagalan

P(X = 0) = 0.8¹⁰ = 0.1074

P(X = 1) = 10·0.2·0.8⁹ = 0.2684

Tambahkannya

P = 0.1074 + 0.2684 = 0.3758

Jawapan

P = 0.3758

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.2119

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan hasil tambah

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6.403 s

Piawaikan

z = (110.1 − 105)/6.403 = 0.8

Ekor atas

P = 1 − Φ(0.8) = 1 − 0.7881 = 0.2119

Jawapan

P = 0.2119

6.Taburan normal

Jawapan: x = 565.8 h

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

z untuk persentil

Φ(z) = 0.95 → z = 1.645

Kembali kepada x

x = 500 + 1.645·40 = 565.8 h

Jawapan

x = 565.8 h

7.Selang keyakinan

Jawapan: E = 19.53

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 9, t = 3.25

Margin ralat

E = 3.25·19/√10 = 19.53

Jawapan

E = 19.53

8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 8600

Selesaikan untuk n

n = (2.576·36/1)² = 8600

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 8600

Jawapan

n = 8600

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: p = 0.02872

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Statistik ujian

SE = σ/√n = 5/√100 = 0.5

z = (80.95 − 80)/0.5 = 1.9

Luas ekor

Φ(1.9) = 0.9713

1 − Φ(1.9) = 0.0287

Nilai-p

p = 0.02872

Jawapan

p = 0.02872

p ≤ 0.05, maka H₀ ditolak pada aras 5%.

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: U = 54.93

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Margin ralat

E = 2.576·12/√81 = 3.435

Had selang

U = 51.5 + 3.435 = 54.93

Jawapan

U = 54.93

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9539

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 138/6 = 23

ȳ = 409/6 = 68.17

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 255

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1021

Pekali korelasi

r = 255/√(70·1021) = 0.9539

Jawapan

r = 0.9539

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: e = −2.3

Min

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 88/5 = 17.6

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −34

Garis regresi

b = −34/10 = −3.4

a = 17.6 − (−3.4)·3 = 27.8

ŷ = 27.8 − 3.4·x

Nilai ramalan

ŷ = 27.8 + (−3.4)·2.5 = 19.3

Reja

e = 17 − 19.3 = −2.3

Jawapan

e = −2.3

Titik itu terletak di bawah garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1