Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
2Soalan latihan
1.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 16, 35, 53, 17, 12.
n = 5
s =
2.Statistik perihalanSukar
Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 50 dan sisihan piawai 5. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 46?
μ = 50σ = 5x = 46
P =
3.KebarangkalianSederhana
Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.2, 0.35, 0.3, 0.15
Var(X) =
4.KebarangkalianSukar
Satu permainan berharga €2 untuk dimain. Anda menang €6 dengan kebarangkalian 0.15 dan €40 dengan kebarangkalian 0.05; jika tidak anda tidak menang apa-apa. Pertaruhan tidak dikembalikan. Cari jangkaan keuntungan bersih E(G) setiap permainan.
pertaruhan = €2€6: p = 0.15€40: p = 0.05
E(G) = €
5.Taburan normalSederhana
Seret z supaya luas berlorek di bawah lengkung normal piawai, di sebelah kanan z, ialah 0.9608. Cari z hingga dua tempat perpuluhan.
A = 0.9608
z =
6.Taburan normalSukar
Jisim X produk daripada barisan 1 dan Y daripada barisan 2 adalah tak bersandar dan normal: X mempunyai min 500 g dan sisihan piawai 8 g, Y mempunyai min 490 g dan sisihan piawai 6 g. Cari kebarangkalian P bahawa X lebih besar daripada Y. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
7.Selang keyakinanSederhana
Tekanan darah 9 pesakit diukur sebelum dan selepas rawatan. Beza d = sebelum − selepas (mmHg) mempunyai min 4.5 dan sisihan piawai 8. Cari had bawah selang keyakinan 90% untuk min beza.
n = 9d̄ = 4.5sd = 890%t(8) = 1.86
had bawah = mmHg
8.Selang keyakinanSukar
Diameter 25 aci yang dimesin mempunyai sisihan piawai sampel 11.6 µm. Dengan mengandaikan diameter bertaburan normal, cari had bawah σ selang keyakinan 95% bagi sisihan piawai populasi. Dengan df = 24, 2.5% taburan χ² terletak di bawah 12.401 dan 2.5% terletak di atas 39.364.
n = 25s = 11.6 µmχ² = 12.401, 39.364
σ = µm
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
Dua kaedah pengajaran dibandingkan. Kumpulan 1: 14 pelajar, skor min 23, sisihan piawai 2. Kumpulan 2: 17 pelajar, skor min 20.8, sisihan piawai 4.5. Andaikan varians populasi sama dan gunakan ujian t dua sampel terkumpul. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ₁ = μ₂, dengan mengambil beza sebagai x̄₁ − x̄₂ (kumpulan 1 tolak kumpulan 2).
n₁ = 14x̄₁ = 23s₁ = 2n₂ = 17x̄₂ = 20.8s₂ = 4.5
t =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Dalam satu percubaan, 32 daripada 80 pesakit yang menerima rawatan A sembuh, dan 54 daripada 120 pesakit yang menerima rawatan B. Dengan menggunakan perkadaran terkumpul, cari statistik ujian z bagi H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 32n₁ = 80x₂ = 54n₂ = 120
z =
11.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Cari pekali korelasi Pearson r.
n = 5
r =
12.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 7.
n = 6x = 7
ŷ =
3Larutan
1.Statistik perihalan
Jawapan: s = 17.21
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 133/5 = 26.6
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = (−10.6)² + 8.4² + 26.4² + (−9.6)² + (−14.6)² = 1185
Sisihan piawai
s = √(1185/4) = 17.21
Jawapan
s = 17.21
2.Statistik perihalan
Jawapan: P = 0.7881
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = −0.8
Jadual normal piawai
Φ(−0.8) = 0.2119
P = 1 − 0.2119 = 0.7881
Jawapan
P = 0.7881
3.Kebarangkalian
Jawapan: Var(X) = 0.94
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Min
μ = 1·0.2 + 2·0.35 + 3·0.3 + 4·0.15 = 2.4
Min bagi kuasa dua
E(X²) = 1·0.2 + 4·0.35 + 9·0.3 + 16·0.15 = 6.7
Varians
Var(X) = 6.7 − 2.4² = 0.94
Jawapan
Var(X) = 0.94
4.Kebarangkalian
Jawapan: E(G) = 0.9 €
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Hasil bersih
G: 4 (p = 0.15), 38 (p = 0.05), −2 (p = 0.8)
Nilai jangkaan
E(G) = 4·0.15 + 38·0.05 − 2·0.8 = 0.9 €
Jawapan
E(G) = 0.9 €
Nilai positif bermaksud anda memperoleh wang secara purata.
5.Taburan normal
Jawapan: z = −1.76
Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri z
Φ(z) = 1 − 0.9608 = 0.0392
Baca jadual-z secara terbalik
Cari 0.0392 di dalam jadual dan baca z.
z = −1.76
Jawapan
z = −1.76
6.Taburan normal
Jawapan: P = 0.8413
Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).
Taburan beza
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
Piawaikan
z = (0 − 10)/10 = −1
Kebarangkalian
P = 1 − Φ(−1) = 0.8413
Jawapan
P = 0.8413
7.Selang keyakinan
Jawapan: had bawah = −0.46 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Nilai genting
df = 8, t = 1.86
Margin ralat
E = 1.86·8/√9 = 4.96
Selang
4.5 ± 4.96 → [−0.46, 9.46]
Jawapan
had bawah = −0.46 mmHg
8.Selang keyakinan
Jawapan: σ = 9.058 µm
Selang bagi suatu varians: (n − 1)s²/σ² mempunyai taburan χ² dengan darjah kebebasan n − 1. Selang 95% bagi σ² bermula daripada (n − 1)s² dibahagi nilai χ² atas (2.5% di atasnya) hingga (n − 1)s² dibahagi nilai χ² bawah (2.5% di bawahnya); selang bagi σ ialah punca kuasa dua kedua-dua had. Ia tidak simetri di sekitar s.
Hasil tambah kuasa dua
(n − 1)s² = 24·11.6² = 3229
Had bagi σ²
3229/39.364 = 82.04
3229/12.401 = 260.4
Had bagi σ
σ = √82.04 = 9.058 µm
Jawapan
σ = 9.058 µm
Selang 95% bagi σ: [9.058, 16.14] µm.
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: t = 1.693
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Varians terkumpul
sp² = (13·2² + 16·4.5²)/29 = 12.97
sp = 3.601
Ralat piawai
SE = 3.601·√(1/14 + 1/17) = 1.3
Statistik ujian
t = (23 − 20.8)/1.3 = 1.693
Jawapan
t = 1.693
Dengan df = 29, nilai genting 5% dua sisi ialah 2.045; |t| lebih kecil, maka H₀ tidak ditolak.
10.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: z = −0.6997
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Perkadaran sampel
p̂₁ = 32/80 = 0.4
p̂₂ = 54/120 = 0.45
p̂ = 86/200 = 0.43
Ralat piawai di bawah H₀
SE = √(0.43·0.57·(1/80 + 1/120)) = 0.07146
Statistik ujian
z = (0.4 − 0.45)/0.07146 = −0.6997
Jawapan
z = −0.6997
|z| < 1.96, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).
11.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r = 0.8369
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 288/5 = 57.6
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 31
Syy = Σ(y − ȳ)² = 137.2
Pekali korelasi
r = 31/√(10·137.2) = 0.8369
Jawapan
r = 0.8369
12.Regresi linear & korelasi
Jawapan: ŷ = 83.83
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 503/6 = 83.83
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 409
Garis regresi
b = 409/70 = 5.843
a = 83.83 − 5.843·7 = 42.93
ŷ = 42.93 + 5.843·x
Ramalan
ŷ = 42.93 + 5.843·7 = 83.83
Jawapan
ŷ = 83.83
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1