Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 13, 40, 19, 44, 41, 43.

n = 6

s =

2.Statistik perihalanSukar

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 170 dan sisihan piawai 15. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 176?

μ = 170σ = 15x = 176

P =

3.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.2, 0.35, 0.15, 0.25, 0.05

σ =

4.KebarangkalianSukar

Satu ujian mempunyai 6 soalan aneka pilihan. Seorang pelajar yang meneka mendapat setiap satu betul dengan kebarangkalian 0.2, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P tepat 4 jawapan betul?

n = 6p = 0.2k = 4

P =

5.Taburan normalSederhana

Jisim bolt adalah tak bersandar dan normal dengan min 40 g dan sisihan piawai 1.2 g. Cari kebarangkalian P bahawa jumlah jisim 10 daripadanya melebihi 407.6 g. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μ = 40 gσ = 1.2 gn = 10> 407.6 g

P =

6.Taburan normalSukar

Ketinggian X lelaki dan Y wanita dalam satu kumpulan adalah tak bersandar dan normal: X mempunyai min 180 cm dan sisihan piawai 10 cm, Y mempunyai min 170 cm dan sisihan piawai 12 cm. Cari kebarangkalian P bahawa X lebih besar daripada Y. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

7.Selang keyakinanSederhana

Satu sampel 9 item mempunyai min 69.5 dan sisihan piawai s = 6.5. Populasi lebih kurang normal. Cari had bawah selang keyakinan 95% untuk min.

n = 9x̄ = 69.5s = 6.595%t(8) = 2.306

had bawah =

8.Selang keyakinanSukar

Dua baja diuji. Kumpulan petak 1: 7 petak, min hasil 61.5 kg, sisihan piawai 4 kg. Kumpulan petak 2: 7 petak, min 65.5 kg, sisihan piawai 3 kg. Andaikan varians sama (t terkumpul, df = n₁ + n₂ − 2). Cari had bawah selang keyakinan 90% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 7x̄₁ = 61.5s₁ = 4n₂ = 7x̄₂ = 65.5s₂ = 390%t(12) = 1.782

had bawah = kg

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Dua kaedah pengajaran dibandingkan. Kumpulan 1: 9 pelajar, skor min 97, sisihan piawai 5. Kumpulan 2: 7 pelajar, skor min 89.9, sisihan piawai 2.5. Andaikan varians populasi sama dan gunakan ujian t dua sampel terkumpul. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ₁ = μ₂, dengan mengambil beza sebagai x̄₁ − x̄₂ (kumpulan 1 tolak kumpulan 2).

n₁ = 9x̄₁ = 97s₁ = 5n₂ = 7x̄₂ = 89.9s₂ = 2.5

t =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Ujian z satu sisi pada α = 0.05 mesti mengesan anjakan min sebanyak 2.5 unit dengan kuasa 80%. Sisihan piawai ialah 22. Cari saiz sampel minimum n.

α = 0.05kuasa = 80%δ = 2.5σ = 22z_α = 1.645z_β = 0.842

n =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Cari pekali penentuan r² bagi garis kuasa dua terkecil.

n = 5

r² =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 19.5.

n = 6x = 19.5

ŷ =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 13.63

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 200/6 = 33.33

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−20.33)² + 6.667² + (−14.33)² + 10.67² + 7.667² + 9.667² = 929.3

Sisihan piawai

s = √(929.3/5) = 13.63

Jawapan

s = 13.63

2.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.6554

Piawaikan

z = 0.4

Jadual normal piawai

Φ(0.4) = 0.6554

P = 0.6554

Jawapan

P = 0.6554

3.Kebarangkalian

Jawapan: σ = 1.2

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 0·0.2 + 1·0.35 + 2·0.15 + 3·0.25 + 4·0.05 = 1.6

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 0·0.2 + 1·0.35 + 4·0.15 + 9·0.25 + 16·0.05 = 4

Varians

Var(X) = 4 − 1.6² = 1.44

σ = √1.44 = 1.2

Jawapan

σ = 1.2

4.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.01536

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Formula binomial

P(X = 4) = 15·0.2⁴·0.8² = 15·0.0016·0.64 = 0.01536

Jawapan

P = 0.01536

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.02275

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan jumlah

μ_T = 400 g, σ_T = 1.2·√10 = 3.795 g

Piawaikan

z = (407.6 − 400)/3.795 = 2

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(2) = 0.02275

Jawapan

P = 0.02275

6.Taburan normal

Jawapan: P = 0.7389

Taburan beza

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15.62 cm

Piawaikan

z = (0 − 10)/15.62 = −0.64

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(−0.64) = 0.7389

Jawapan

P = 0.7389

7.Selang keyakinan

Jawapan: had bawah = 64.5

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 8, t = 2.306

Margin ralat

E = 2.306·6.5/√9 = 4.996

Selang

69.5 ± 4.996 → [64.5, 74.5]

Jawapan

had bawah = 64.5

8.Selang keyakinan

Jawapan: had bawah = −7.368 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Sisihan piawai terkumpul

s_p² = (6·4² + 6·3²)/12 = 12.5

s_p = 3.536

Margin ralat

E = 1.782·3.536·√(1/7 + 1/7) = 3.368

Selang

−4 ± 3.368 → [−7.368, −0.6323]

Jawapan

had bawah = −7.368 kg

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = 3.421

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Varians terkumpul

s_p² = (8·5² + 6·2.5²)/14 = 16.96

s_p = 4.119

Ralat piawai

SE = 4.119·√(1/9 + 1/7) = 2.076

Statistik ujian

t = (97 − 89.9)/2.076 = 3.421

Jawapan

t = 3.421

Dengan df = 14, nilai genting 5% dua sisi ialah 2.145; |t| lebih besar, maka H₀ ditolak.

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: n = 479

Saiz sampel untuk ujian: untuk mengesan anjakan benar δ dengan kuasa 1 − β dalam ujian z satu sisi pada aras α, ralat piawai mesti memenuhi δ = (z_α + z_β)·σ/√n, maka n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = ((1.645 + 0.842)·22/2.5)² = 479

Bundarkan ke atas

n = 479

Jawapan

n = 479

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r² = 0.9727

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 79/5 = 15.8

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 62

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 98.8

Pekali penentuan

r² = 62²/(40·98.8) = 0.9727

Jawapan

r² = 0.9727

Kira-kira 97.27% variasi dalam y diterangkan oleh garis itu.

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: ŷ = 92.15

Min

x̄ = 135/6 = 22.5

ȳ = 647/6 = 107.8

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 823.5

Garis regresi

b = 823.5/157.5 = 5.229

a = 107.8 − 5.229·22.5 = −9.81

ŷ = −9.81 + 5.229·x

Ramalan

ŷ = −9.81 + 5.229·19.5 = 92.15

Jawapan

ŷ = 92.15

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1