Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min
x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang tersusun
Skor-z
z = (x − μ)/σ
Taburan normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap
P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Taburan normal

Skor-z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Kaedah

  1. Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
  4. Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

  1. Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
  2. Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
  3. Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1.96
Selang keyakinan
x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
  2. Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
  4. Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan
b = Sxy/Sxx
Pintasan
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Reja
e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana
1520253035404550

Cari sisihan piawai sampel s data: 38, 46, 52, 12, 54, 26.

n = 6
s =
2.Statistik perihalanSukar
z −2−1012

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 170 dan sisihan piawai 8. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 162?

μ = 170σ = 8x = 162
P =
3.KebarangkalianSederhana
xp(x)00.3510.3520.3μ = 0.95

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.

x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.35, 0.3
σ =
4.KebarangkalianSukar
n = 12, p = 0.4: P(X = 2) = ?k0123456789101112

Satu ujian mempunyai 12 soalan aneka pilihan. Seorang pelajar yang meneka mendapat setiap satu betul dengan kebarangkalian 0.4, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P tepat 2 jawapan betul?

n = 12p = 0.4k = 2
P =
5.Taburan normalSederhana
462572P = ?

hayat bateri bertaburan normal dengan min 500 h dan sisihan piawai 40 h. Berapakah pecahan yang terletak antara 462 dan 572 h? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 500σ = 40x1 = 462x2 = 572
P =
6.Taburan normalSukar
0.03 mm0D − d?

Diameter lubang D adalah normal dengan min 25.03 mm dan sisihan piawai 0.02 mm. Diameter aci d adalah tak bersandar dan normal dengan min 25 mm dan sisihan piawai 0.015 mm. Aci yang dipilih secara rawak muat apabila D − d > 0. Cari kebarangkalian P bahawa ia muat. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

lubang: μ = 25.03 mm, σ = 0.02 mmaci: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm
P =
7.Selang keyakinanSederhana
x̄E₁ = 6.490%, n = 100x̄E₂ = ?95%, n = 400

Selang keyakinan 90% bagi suatu min, berdasarkan 100 cerapan dan σ yang diketahui, mempunyai margin ralat 6.4. Berapakah margin ralat E₂ bagi selang 95% berdasarkan 400 cerapan?

90%n₁ = 100E₁ = 6.495%n₂ = 400
E₂ =
8.Selang keyakinanSukar
σ = 26, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 395%

Sisihan piawai populasi ialah 26. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 95% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 3?

σ = 26E = 395%
n =
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
t −2.13102.131

Satu sampel 16 pelajar mempunyai skor min 56 dan sisihan piawai sampel 20. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 56s = 20n = 16
t =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
σ = 12, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 195%

Seberapa besarkah sampel mesti supaya selang keyakinan 95% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 1? Sisihan piawai ialah 12. Cari saiz sampel terkecil n.

σ = 12E = 195%
n =
11.Regresi linear & korelasiSederhana
xy123222318416515xy241520

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Cari pekali penentuan r² bagi garis kuasa dua terkecil.

n = 5
r² =
12.Regresi linear & korelasiSukar
xy16551964227925932810631105xy152025306080100ŷ = 61

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x yang manakah garis meramalkan ŷ = 61?

n = 6ŷ = 61
x =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 16.35

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 228/6 = 38

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 0² + 8² + 14² + (−26)² + 16² + (−12)² = 1336

Sisihan piawai

s = √(1336/5) = 16.35

Jawapan

s = 16.35
2.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.1587

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Piawaikan

z = −1

Jadual normal piawai

Φ(−1) = 0.1587
P = 0.1587

Jawapan

P = 0.1587
3.Kebarangkalian

Jawapan: σ = 0.8047

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 0·0.35 + 1·0.35 + 2·0.3 = 0.95

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 0·0.35 + 1·0.35 + 4·0.3 = 1.55

Varians

Var(X) = 1.55 − 0.95² = 0.6475
σ = √0.6475 = 0.8047

Jawapan

σ = 0.8047
4.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.06385

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Formula binomial

P(X = 2) = 66·0.42·0.610 = 66·0.16·0.006047 = 0.06385

Jawapan

P = 0.06385
5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.793

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (462 − 500)/40 = −0.95
z₂ = (572 − 500)/40 = 1.8

Luas antara

P = Φ(1.8) − Φ(−0.95) = 0.9641 − 0.1711 = 0.793

Jawapan

P = 0.793
6.Taburan normal

Jawapan: P = 0.8849

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan beza

μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.025 mm

Piawaikan

z = (0 − 0.03)/0.025 = −1.2

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(−1.2) = 0.8849

Jawapan

P = 0.8849
7.Selang keyakinan

Jawapan: E₂ = 3.813

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Nisbah margin

E₂/E₁ = (1.96/1.645)·√(100/400) = 0.5957

Margin baharu

E₂ = 6.4·0.5957 = 3.813

Jawapan

E₂ = 3.813
8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 289

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (1.96·26/3)² = 288.5

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 289

Jawapan

n = 289
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = 1.2

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai

SE = 20/√16 = 20/4 = 5

Statistik ujian

t = (56 − 50)/5 = 1.2

Jawapan

t = 1.2
t0.025; df = 15 = 2.131

|t| < 2.131, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: n = 554

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Selesaikan untuk n

n = (1.96·12/1)² = 553.2

Bundarkan ke atas

n = 554

Jawapan

n = 554
11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r² = 0.9528

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 94/5 = 18.8

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −22
Syy = Σ(y − ȳ)² = 50.8

Pekali penentuan

r² = −22²/(10·50.8) = 0.9528

Jawapan

r² = 0.9528

Kira-kira 95.28% variasi dalam y diterangkan oleh garis itu.

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: x = 17.4

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 141/6 = 23.5
ȳ = 502/6 = 83.67

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 157.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 585

Garis regresi

b = 585/157.5 = 3.714
a = 83.67 − 3.714·23.5 = −3.619
ŷ = −3.619 + 3.714·x

Selesaikan untuk x

x = (61 − (−3.619))/3.714 = 17.4

Jawapan

x = 17.4

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1