Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 56, 11, 47, 18, 34, 43.

n = 6

s =

2.Statistik perihalanSukar

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 170 dan sisihan piawai 15. Cari skor-z z bagi skor 200.

μ = 170σ = 15x = 200

z =

3.KebarangkalianSederhana

Sebuah beg mengandungi 6 bebola merah dan 5 biru. Anda mengambil dua bebola tanpa memulangkan yang pertama. Berapakah kebarangkalian P kedua-duanya merah?

6 / 5

P =

4.KebarangkalianSukar

X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 2X + 20. Cari sisihan piawai σ_Y bagi Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.35, 0.3Y = 2X + 20

σ_Y =

5.Taburan normalSederhana

skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 65 markah dan sisihan piawai 10 markah. Berapakah pecahan yang terletak antara 62.5 dan 75 markah? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 65σ = 10x₁ = 62.5x₂ = 75

P =

6.Taburan normalSukar

ketinggian lelaki dewasa bertaburan normal dengan min 178 cm dan sisihan piawai 7 cm. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 90% daripadanya (persentil ke-90).

μ = 178σ = 7P = 90%

x = cm

7.Selang keyakinanSederhana

Satu sampel 30 item mempunyai min 100.5 dan sisihan piawai s = 10. Populasi lebih kurang normal. Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 99% untuk min.

n = 30x̄ = 100.5s = 1099%t(29) = 2.756

E =

8.Selang keyakinanSukar

Satu kajian rintis mencadangkan bahawa kira-kira 0.3 produk adalah cacat. Berapa banyak produk n yang mesti diperiksa supaya selang keyakinan 95% bagi perkadaran mempunyai margin ralat selebar-lebarnya 0.02?

p ≈ 0.3E = 0.0295%

n =

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

11 pekerja mengambil ujian menaip sebelum dan selepas kursus latihan. Bagi setiap orang beza d = selepas − sebelum (perkataan seminit) direkodkan. Min beza ialah 7.81 dan sisihan piawai beza ialah 7.4. Cari statistik ujian berpasangan t bagi H₀: μ_d = 0.

n = 11d̄ = 7.81s_d = 7.4

t =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Satu sampel 36 ukuran mempunyai min 54. Sisihan piawai populasi ialah 20. Cari had bawah L selang keyakinan 99% bagi min.

x̄ = 54σ = 20n = 3699%

L =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Cari pekali korelasi Pearson r.

n = 6

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (28.5, 90) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.

n = 6(28.5, 90)

e =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 17.41

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 209/6 = 34.83

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 21.17² + (−23.83)² + 12.17² + (−16.83)² + (−0.8333)² + 8.167² = 1515

Sisihan piawai

s = √(1515/5) = 17.41

Jawapan

s = 17.41

2.Statistik perihalan

Jawapan: z = 2

Piawaikan

z = (200 − 170)/15 = 2

Jawapan

z = 2

3.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.2727

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pengambilan pertama dan kedua

P = 6/11 · 5/10 = 30/110 = 0.2727

Jawapan

P = 0.2727

4.Kebarangkalian

Jawapan: σ_Y = 1.609

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Serakan X

μ = 0.95, Var(X) = 0.6475, σ_X = 0.8047

Perubahan linear

σ_Y = |2|·0.8047 = 1.609

Jawapan

σ_Y = 1.609

Min memang berubah: E(Y) = 2·0.95 + 20 = 21.9.

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.4401

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (62.5 − 65)/10 = −0.25

z₂ = (75 − 65)/10 = 1

Luas antara

P = Φ(1) − Φ(−0.25) = 0.8413 − 0.4013 = 0.4401

Jawapan

P = 0.4401

6.Taburan normal

Jawapan: x = 187 cm

z untuk persentil

Φ(z) = 0.9 → z = 1.282

Kembali kepada x

x = 178 + 1.282·7 = 186.97 cm

Jawapan

x = 186.97 cm

7.Selang keyakinan

Jawapan: E = 5.032

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 29, t = 2.756

Margin ralat

E = 2.756·10/√30 = 5.032

Jawapan

E = 5.032

8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 2017

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

Selesaikan untuk n

n = 1.96²·0.3·0.7/0.02² = 2017

Bundarkan ke atas

n = 2017

Jawapan

n = 2017

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = 3.5

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Ralat piawai bagi min beza

SE = 7.4/√11 = 2.231

Statistik ujian

t = 7.81/2.231 = 3.5

Jawapan

t = 3.5

Dengan df = 10, nilai genting 5% dua sisi ialah 2.228; |t| lebih besar, maka H₀ ditolak.

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: L = 45.41

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Margin ralat

E = 2.576·20/√36 = 8.587

Had selang

L = 54 − 8.587 = 45.41

Jawapan

L = 45.41

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.996

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 152/6 = 25.33

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 244

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 857.3

Pekali korelasi

r = 244/√(70·857.3) = 0.996

Jawapan

r = 0.996

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: e = 3.5

Min

x̄ = 135/6 = 22.5

ȳ = 411/6 = 68.5

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 472.5

Garis regresi

b = 472.5/157.5 = 3

a = 68.5 − 3·22.5 = 1

ŷ = 1 + 3·x

Nilai ramalan

ŷ = 1 + 3·28.5 = 86.5

Reja

e = 90 − 86.5 = 3.5

Jawapan

e = 3.5

Titik itu terletak di atas garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1