Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 54, 36, 45, 60, 27.

n = 5

s =

2.Statistik perihalanSukar

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 70 dan sisihan piawai 12. Cari skor-z z bagi skor 64.

μ = 70σ = 12x = 64

z =

3.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.35, 0.2, 0.3, 0.1, 0.05

σ =

4.KebarangkalianSukar

12 komponen diuji, dan setiap satu gagal dengan kebarangkalian 0.2, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P paling banyak satu gagal?

n = 12p = 0.2

P =

5.Taburan normalSederhana

Jisim beg simen adalah tak bersandar dan normal dengan min 25 kg dan sisihan piawai 0.5 kg. Cari kebarangkalian P bahawa jumlah jisim 6 daripadanya melebihi 151.8 kg. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 6> 151.8 kg

P =

6.Taburan normalSukar

berat beg bertaburan normal dengan min 250 g dan sisihan piawai 5 g. Seret titik pemotong supaya 5% teratas yang berlorek berada di sebelah kanannya. Cari titik pemotong x.

μ = 250 gσ = 5 g5%

x = g

7.Selang keyakinanSederhana

Hayat bateri dua model telefon dibandingkan. Model 1: 50 telefon, min 110.5 j, sisihan piawai diketahui 14 j. Model 2: 50 telefon, min 119 j, sisihan piawai diketahui 3 j. Cari had bawah selang keyakinan 90% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 50x̄₁ = 110.5 hσ₁ = 14 hn₂ = 50x̄₂ = 119 hσ₂ = 3 h90%

had bawah = h

8.Selang keyakinanSukar

Tiada apa-apa yang diketahui terlebih dahulu tentang perkadaran produk cacat. Berapa banyak produk n yang mesti diperiksa supaya selang keyakinan 99% bagi perkadaran mempunyai margin ralat selebar-lebarnya 0.025?

p = 0.5E = 0.02599%

n =

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Dua kaedah pengajaran dibandingkan. Kumpulan 1: 10 pelajar, skor min 90.5, sisihan piawai 2. Kumpulan 2: 16 pelajar, skor min 91.2, sisihan piawai 2.5. Andaikan varians populasi sama dan gunakan ujian t dua sampel terkumpul. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ₁ = μ₂, dengan mengambil beza sebagai x̄₁ − x̄₂ (kumpulan 1 tolak kumpulan 2).

n₁ = 10x̄₁ = 90.5s₁ = 2n₂ = 16x̄₂ = 91.2s₂ = 2.5

t =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Dalam satu percubaan, 44 daripada 80 pesakit yang menerima rawatan A sembuh, dan 82 daripada 120 pesakit yang menerima rawatan B. Dengan menggunakan perkadaran terkumpul, cari statistik ujian z bagi H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 44n₁ = 80x₂ = 82n₂ = 120

z =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Cari pekali penentuan r² bagi garis kuasa dua terkecil.

n = 5

r² =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x yang manakah garis meramalkan ŷ = 65?

n = 5ŷ = 65

x =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 13.32

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 222/5 = 44.4

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 9.6² + (−8.4)² + 0.6² + 15.6² + (−17.4)² = 709.2

Sisihan piawai

s = √(709.2/4) = 13.32

Jawapan

s = 13.32

2.Statistik perihalan

Jawapan: z = −0.5

Piawaikan

z = (64 − 70)/12 = −0.5

Jawapan

z = −0.5

3.Kebarangkalian

Jawapan: σ = 1.187

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 0·0.35 + 1·0.2 + 2·0.3 + 3·0.1 + 4·0.05 = 1.3

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 0·0.35 + 1·0.2 + 4·0.3 + 9·0.1 + 16·0.05 = 3.1

Varians

Var(X) = 3.1 − 1.3² = 1.41

σ = √1.41 = 1.187

Jawapan

σ = 1.187

4.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.2749

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Sifar dan satu kegagalan

P(X = 0) = 0.8¹² = 0.06872

P(X = 1) = 12·0.2·0.8¹¹ = 0.2062

Tambahkannya

P = 0.06872 + 0.2062 = 0.2749

Jawapan

P = 0.2749

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.07078

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan jumlah

μ_T = 150 kg, σ_T = 0.5·√6 = 1.225 kg

Piawaikan

z = (151.8 − 150)/1.225 = 1.47

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(1.47) = 0.07078

Jawapan

P = 0.07078

6.Taburan normal

Jawapan: x = 258.2 g

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0.95

z daripada jadual

z ≈ 1.64

Kembali kepada unit asal

x = 250 + 1.64·5 = 258.2 g

Jawapan

x = 258.2 g

7.Selang keyakinan

Jawapan: had bawah = −11.83 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Anggaran titik

x̄₁ − x̄₂ = 110.5 − 119 = −8.5

Ralat piawai

SE = √(14²/50 + 3²/50) = 2.025

Margin ralat

E = 1.645·2.025 = 3.331

Selang

−8.5 ± 3.331 → [−11.83, −5.169]

Jawapan

had bawah = −11.83 h

Selang itu tidak mengandungi 0, maka min berbeza dengan signifikan.

8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 2655

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

Selesaikan untuk n

n = 2.576²·0.5·0.5/0.025² = 2654

Bundarkan ke atas

n = 2655

Jawapan

n = 2655

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = −0.7468

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Varians terkumpul

s_p² = (9·2² + 15·2.5²)/24 = 5.406

s_p = 2.325

Ralat piawai

SE = 2.325·√(1/10 + 1/16) = 0.9373

Statistik ujian

t = (90.5 − 91.2)/0.9373 = −0.7468

Jawapan

t = −0.7468

Dengan df = 24, nilai genting 5% dua sisi ialah 2.064; |t| lebih kecil, maka H₀ tidak ditolak.

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: z = −1.913

Perkadaran sampel

p̂₁ = 44/80 = 0.55

p̂₂ = 82/120 = 0.6833

p̂ = 126/200 = 0.63

Ralat piawai di bawah H₀

SE = √(0.63·0.37·(1/80 + 1/120)) = 0.06969

Statistik ujian

z = (0.55 − 0.6833)/0.06969 = −1.913

Jawapan

z = −1.913

|z| < 1.96, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r² = 0.9877

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 124/5 = 24.8

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 152

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 584.8

Pekali penentuan

r² = 152²/(40·584.8) = 0.9877

Jawapan

r² = 0.9877

Kira-kira 98.77% variasi dalam y diterangkan oleh garis itu.

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: x = 22.91

Min

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 274/5 = 54.8

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 140

Garis regresi

b = 140/40 = 3.5

a = 54.8 − 3.5·20 = −15.2

ŷ = −15.2 + 3.5·x

Selesaikan untuk x

x = (65 − (−15.2))/3.5 = 22.91

Jawapan

x = 22.91

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1