Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 34, 40, 12, 43, 17, 59, 35.

n = 7

s =

2.Statistik perihalanSukar

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 60 dan sisihan piawai 15. Cari skor-z z bagi skor 30.

μ = 60σ = 15x = 30

z =

3.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.15, 0.35, 0.25, 0.15, 0.1

σ =

4.KebarangkalianSukar

X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 10X + 20. Cari sisihan piawai σ_Y bagi Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.15, 0.2, 0.35, 0.3Y = 10X + 20

σ_Y =

5.Taburan normalSederhana

berat beg bertaburan normal dengan min 250 g dan sisihan piawai 5 g. Berapakah pecahan yang terletak antara 242.75 dan 254 g? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 250σ = 5x₁ = 242.75x₂ = 254

P =

6.Taburan normalSukar

berat beg bertaburan normal dengan min 250 g dan sisihan piawai 5 g. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 5% daripadanya (persentil ke-5).

μ = 250σ = 5P = 5%

x = g

7.Selang keyakinanSederhana

Satu sampel 21 item mempunyai min 80 dan sisihan piawai s = 12. Populasi lebih kurang normal. Cari had atas selang keyakinan 95% untuk min.

n = 21x̄ = 80s = 1295%t(20) = 2.086

had atas =

8.Selang keyakinanSukar

Sisihan piawai populasi ialah 39. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 95% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 1.5?

σ = 39E = 1.595%

n =

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Min sesuatu populasi dituntut sebagai 50; sisihan piawai populasi diketahui ialah 5. Satu sampel rawak 100 cerapan mempunyai min 49.02. Uji H₀: μ = 50 terhadap H₁: μ ≠ 50. Cari nilai-p p.

μ₀ = 50σ = 5n = 100x̄ = 49.02H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Satu sampel 64 ukuran mempunyai min 201.7. Sisihan piawai populasi ialah 5. Cari had atas U selang keyakinan 90% bagi min.

x̄ = 201.7σ = 5n = 6490%

U =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Cari pekali korelasi Pearson r.

n = 6

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 6.

n = 5x = 6

ŷ =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 15.89

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 240/7 = 34.29

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−0.2857)² + 5.714² + (−22.29)² + 8.714² + (−17.29)² + 24.71² + 0.7143² = 1515

Sisihan piawai

s = √(1515/6) = 15.89

Jawapan

s = 15.89

2.Statistik perihalan

Jawapan: z = −2

Piawaikan

z = (30 − 60)/15 = −2

Jawapan

z = −2

3.Kebarangkalian

Jawapan: σ = 1.187

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 1·0.15 + 2·0.35 + 3·0.25 + 4·0.15 + 5·0.1 = 2.7

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 1·0.15 + 4·0.35 + 9·0.25 + 16·0.15 + 25·0.1 = 8.7

Varians

Var(X) = 8.7 − 2.7² = 1.41

σ = √1.41 = 1.187

Jawapan

σ = 1.187

4.Kebarangkalian

Jawapan: σ_Y = 20.59

Serakan X

μ = 3.6, Var(X) = 4.24, σ_X = 2.059

Perubahan linear

σ_Y = |10|·2.059 = 20.59

Jawapan

σ_Y = 20.59

Min memang berubah: E(Y) = 10·3.6 + 20 = 56.

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.7146

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (242.75 − 250)/5 = −1.45

z₂ = (254 − 250)/5 = 0.8

Luas antara

P = Φ(0.8) − Φ(−1.45) = 0.7881 − 0.07353 = 0.7146

Jawapan

P = 0.7146

6.Taburan normal

Jawapan: x = 241.8 g

z untuk persentil

Φ(z) = 0.05 → z = −1.645

Kembali kepada x

x = 250 + −1.645·5 = 241.78 g

Jawapan

x = 241.78 g

7.Selang keyakinan

Jawapan: had atas = 85.46

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 20, t = 2.086

Margin ralat

E = 2.086·12/√21 = 5.462

Selang

80 ± 5.462 → [74.54, 85.46]

Jawapan

had atas = 85.46

8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 2597

Selesaikan untuk n

n = (1.96·39/1.5)² = 2597

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 2597

Jawapan

n = 2597

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: p = 0.05

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Statistik ujian

SE = σ/√n = 5/√100 = 0.5

z = (49.02 − 50)/0.5 = −1.96

Luas ekor

Φ(1.96) = 0.9750

1 − Φ(1.96) = 0.0250

Nilai-p

p = 2·0.0250 = 0.05

Jawapan

p = 0.05

p ≤ 0.05, maka H₀ ditolak pada aras 5%.

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: U = 202.7

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Margin ralat

E = 1.645·5/√64 = 1.028

Had selang

U = 201.7 + 1.028 = 202.7

Jawapan

U = 202.7

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9963

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 447/6 = 74.5

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 425

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2600

Pekali korelasi

r = 425/√(70·2600) = 0.9963

Jawapan

r = 0.9963

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: ŷ = 57.55

Min

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 303/5 = 60.6

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 122

Garis regresi

b = 122/40 = 3.05

a = 60.6 − 3.05·7 = 39.25

ŷ = 39.25 + 3.05·x

Ramalan

ŷ = 39.25 + 3.05·6 = 57.55

Jawapan

ŷ = 57.55

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1