Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
2Soalan latihan
1.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 36, 15, 30, 52, 49, 41, 37.
n = 7
s =
2.Statistik perihalanSukar
Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 100 dan sisihan piawai 10. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 112.5?
μ = 100σ = 10x = 112.5
P =
3.KebarangkalianSederhana
Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.2, 0.2, 0.35, 0.25
Var(X) =
4.KebarangkalianSukar
Satu permainan berharga €5 untuk dimain. Anda menang €10 dengan kebarangkalian 0.25 dan €100 dengan kebarangkalian 0.02; jika tidak anda tidak menang apa-apa. Pertaruhan tidak dikembalikan. Cari jangkaan keuntungan bersih E(G) setiap permainan.
pertaruhan = €5€10: p = 0.25€100: p = 0.02
E(G) = €
5.Taburan normalSederhana
X normal dengan min 60 s dan sisihan piawai 5 s; Y tak bersandar dan normal dengan min 45 s dan sisihan piawai 4 s. Cari kebarangkalian P bahawa X + Y melebihi 99.9 s. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.
μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 99.9 s
P =
6.Taburan normalSukar
ketinggian lelaki dewasa bertaburan normal dengan min 178 cm dan sisihan piawai 7 cm. Seret titik pemotong supaya 10% teratas yang berlorek berada di sebelah kanannya. Cari titik pemotong x.
μ = 178 cmσ = 7 cm10%
x = cm
7.Selang keyakinanSederhana
Satu sampel 6 item mempunyai min 56.5 dan sisihan piawai s = 7.5. Populasi lebih kurang normal. Cari had bawah selang keyakinan 99% untuk min.
n = 6x̄ = 56.5s = 7.599%t(5) = 4.032
had bawah =
8.Selang keyakinanSukar
Sisihan piawai populasi ialah 2. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 90% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 0.5?
σ = 2E = 0.590%
n =
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
15 pekerja mengambil ujian menaip sebelum dan selepas kursus latihan. Bagi setiap orang beza d = selepas − sebelum (perkataan seminit) direkodkan. Min beza ialah 5.09 dan sisihan piawai beza ialah 6.8. Cari statistik ujian berpasangan t bagi H₀: μd = 0.
n = 15d̄ = 5.09sd = 6.8
t =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Satu sampel 64 ukuran mempunyai min 76.9. Sisihan piawai populasi ialah 8. Cari had bawah L selang keyakinan 90% bagi min.
x̄ = 76.9σ = 8n = 6490%
L =
11.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Cari pekali penentuan r² bagi garis kuasa dua terkecil.
n = 6
r² =
12.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (24.5, 134) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.
n = 5(24.5, 134)
e =
3Larutan
1.Statistik perihalan
Jawapan: s = 12.38
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 260/7 = 37.14
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = (−1.143)² + (−22.14)² + (−7.143)² + 14.86² + 11.86² + 3.857² + (−0.1429)² = 918.9
Sisihan piawai
s = √(918.9/6) = 12.38
Jawapan
s = 12.38
2.Statistik perihalan
Jawapan: P = 0.1056
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = 1.25
Jadual normal piawai
Φ(1.25) = 0.8944
P = 1 − 0.8944 = 0.1056
Jawapan
P = 0.1056
3.Kebarangkalian
Jawapan: Var(X) = 4.51
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Min
μ = 0·0.2 + 2·0.2 + 4·0.35 + 6·0.25 = 3.3
Min bagi kuasa dua
E(X²) = 0·0.2 + 4·0.2 + 16·0.35 + 36·0.25 = 15.4
Varians
Var(X) = 15.4 − 3.3² = 4.51
Jawapan
Var(X) = 4.51
4.Kebarangkalian
Jawapan: E(G) = −0.5 €
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Hasil bersih
G: 5 (p = 0.25), 95 (p = 0.02), −5 (p = 0.73)
Nilai jangkaan
E(G) = 5·0.25 + 95·0.02 − 5·0.73 = −0.5 €
Jawapan
E(G) = −0.5 €
Nilai negatif bermaksud anda kehilangan wang secara purata.
5.Taburan normal
Jawapan: P = 0.7881
Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).
Taburan hasil tambah
μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6.403 s
Piawaikan
z = (99.9 − 105)/6.403 = −0.8
Ekor atas
P = 1 − Φ(−0.8) = 1 − 0.2119 = 0.7881
Jawapan
P = 0.7881
6.Taburan normal
Jawapan: x = 187 cm
Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri
Φ(z) = 0.9
z daripada jadual
z ≈ 1.28
Kembali kepada unit asal
x = 178 + 1.28·7 = 187 cm
Jawapan
x = 187 cm
7.Selang keyakinan
Jawapan: had bawah = 44.15
Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.
Nilai genting
df = n − 1 = 5, t = 4.032
Margin ralat
E = 4.032·7.5/√6 = 12.35
Selang
56.5 ± 12.35 → [44.15, 68.85]
Jawapan
had bawah = 44.15
8.Selang keyakinan
Jawapan: n = 44
Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = (1.645·2/0.5)² = 43.3
Bundarkan ke atas
Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.
n = 44
Jawapan
n = 44
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: t = 2.899
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Ralat piawai bagi min beza
SE = 6.8/√15 = 1.756
Statistik ujian
t = 5.09/1.756 = 2.899
Jawapan
t = 2.899
Dengan df = 14, nilai genting 5% dua sisi ialah 2.145; |t| lebih besar, maka H₀ ditolak.
10.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: L = 75.26
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Margin ralat
E = 1.645·8/√64 = 1.645
Had selang
L = 76.9 − 1.645 = 75.26
Jawapan
L = 75.26
11.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r² = 0.9729
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 33/6 = 5.5
ȳ = 491/6 = 81.83
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 127.5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 954.8
Pekali penentuan
r² = 127.5²/(17.5·954.8) = 0.9729
Jawapan
r² = 0.9729
Kira-kira 97.29% variasi dalam y diterangkan oleh garis itu.
12.Regresi linear & korelasi
Jawapan: e = 1.55
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 558/5 = 111.6
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 417
Garis regresi
b = 417/90 = 4.633
a = 111.6 − 4.633·20 = 18.93
ŷ = 18.93 + 4.633·x
Nilai ramalan
ŷ = 18.93 + 4.633·24.5 = 132.4
Reja
e = 134 − 132.4 = 1.55
Jawapan
e = 1.55
Titik itu terletak di atas garis.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1