Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 32, 14, 28, 49, 31, 36.

n = 6

s =

2.Statistik perihalanSukar

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 60 dan sisihan piawai 20. Cari skor-z z bagi skor 90.

μ = 60σ = 20x = 90

z =

3.KebarangkalianSederhana

Dalam berapa cara N satu jawatankuasa 5 orang boleh dipilih daripada kumpulan 15? Susunan tidak penting.

n = 15k = 5

N =

4.KebarangkalianSukar

7 komponen diuji, dan setiap satu gagal dengan kebarangkalian 0.7, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P paling banyak satu gagal?

n = 7p = 0.7

P =

5.Taburan normalSederhana

skor IQ bertaburan normal dengan min 100 markah dan sisihan piawai 15 markah. Berapakah pecahan yang terletak antara 77.5 dan 127.75 markah? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 100σ = 15x₁ = 77.5x₂ = 127.75

P =

6.Taburan normalSukar

hayat bateri bertaburan normal dengan min 500 h dan sisihan piawai 40 h. Seret titik pemotong supaya 75% teratas yang berlorek berada di sebelah kanannya. Cari titik pemotong x.

μ = 500 hσ = 40 h75%

x = h

7.Selang keyakinanSederhana

Satu sampel 12 item mempunyai min 105.5 dan sisihan piawai s = 5. Populasi lebih kurang normal. Cari had atas selang keyakinan 90% untuk min.

n = 12x̄ = 105.5s = 590%t(11) = 1.796

had atas =

8.Selang keyakinanSukar

Sisihan piawai populasi ialah 20. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 90% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 2?

σ = 20E = 290%

n =

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Dua talian pengeluaran membuat bahagian yang sama. Talian 1: sampel 50 bahagian mempunyai min panjang 66 mm, dan sisihan piawai diketahui talian itu ialah 3 mm. Talian 2: sampel 60 bahagian mempunyai min 60.5 mm, sisihan piawai diketahui 16 mm. Cari statistik ujian z bagi H₀: μ₁ = μ₂, dengan mengambil beza sebagai x̄₁ − x̄₂ (talian 1 tolak talian 2).

n₁ = 50x̄₁ = 66 mmσ₁ = 3 mmn₂ = 60x̄₂ = 60.5 mmσ₂ = 16 mm

z =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Satu sampel 81 ukuran mempunyai min 499. Sisihan piawai populasi ialah 4. Cari had bawah L selang keyakinan 90% bagi min.

x̄ = 499σ = 4n = 8190%

L =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.

n = 5Σx = 30Σy = 331Σx² = 220Σy² = 22347Σxy = 2112

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x yang manakah garis meramalkan ŷ = 23?

n = 6ŷ = 23

x =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 11.36

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 190/6 = 31.67

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 0.3333² + (−17.67)² + (−3.667)² + 17.33² + (−0.6667)² + 4.333² = 645.3

Sisihan piawai

s = √(645.3/5) = 11.36

Jawapan

s = 11.36

2.Statistik perihalan

Jawapan: z = 1.5

Piawaikan

z = (90 − 60)/20 = 1.5

Jawapan

z = 1.5

3.Kebarangkalian

Jawapan: N = 3003

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Gabungan

C(15, 5) = (15·14·13·12·11)/(5·4·3·2·1) = 3003

Jawapan

N = 3003

4.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.003791

Sifar dan satu kegagalan

P(X = 0) = 0.3⁷ = 0.0002187

P(X = 1) = 7·0.7·0.3⁶ = 0.003572

Tambahkannya

P = 0.0002187 + 0.003572 = 0.003791

Jawapan

P = 0.003791

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.901

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (77.5 − 100)/15 = −1.5

z₂ = (127.75 − 100)/15 = 1.85

Luas antara

P = Φ(1.85) − Φ(−1.5) = 0.9678 − 0.06681 = 0.901

Jawapan

P = 0.901

6.Taburan normal

Jawapan: x = 473 h

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0.25

z daripada jadual

z ≈ −0.67

Kembali kepada unit asal

x = 500 − 0.67·40 = 473 h

Jawapan

x = 473 h

7.Selang keyakinan

Jawapan: had atas = 108.1

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 11, t = 1.796

Margin ralat

E = 1.796·5/√12 = 2.592

Selang

105.5 ± 2.592 → [102.9, 108.1]

Jawapan

had atas = 108.1

8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 271

Selesaikan untuk n

n = (1.645·20/2)² = 270.6

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 271

Jawapan

n = 271

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: z = 2.608

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Ralat piawai bagi beza

SE = √(3²/50 + 16²/60) = √4.447 = 2.109

Statistik ujian

z = (66 − 60.5)/2.109 = 2.608

Jawapan

z = 2.608

|z| > 1.96, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: L = 498.3

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Margin ralat

E = 1.645·4/√81 = 0.7311

Had selang

L = 499 − 0.7311 = 498.3

Jawapan

L = 498.3

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9554

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Hasil tambah berpusat

S_xy = 2112 − 30·331/5 = 126

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 22347 − 331²/5 = 434.8

Pekali korelasi

r = 126/√(40·434.8) = 0.9554

Jawapan

r = 0.9554

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: x = 2.446

Min

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 123/6 = 20.5

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −41.5

Garis regresi

b = −41.5/17.5 = −2.371

a = 20.5 − (−2.371)·3.5 = 28.8

ŷ = 28.8 − 2.371·x

Selesaikan untuk x

x = (23 − 28.8)/(−2.371) = 2.446

Jawapan

x = 2.446

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1