Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 49, 34, 56, 49, 15.

n = 5

s =

2.Statistik perihalanSukar

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 170 dan sisihan piawai 10. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 182.5?

μ = 170σ = 10x = 182.5

P =

3.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.

x: 0, 1, 2p(x): 0.3, 0.35, 0.35

σ =

4.KebarangkalianSukar

Satu permainan berharga €5 untuk dimain. Anda menang €20 dengan kebarangkalian 0.2 dan €250 dengan kebarangkalian 0.01; jika tidak anda tidak menang apa-apa. Pertaruhan tidak dikembalikan. Cari jangkaan keuntungan bersih E(G) setiap permainan.

pertaruhan = €5€20: p = 0.2€250: p = 0.01

E(G) = €

5.Taburan normalSederhana

Jisim beg simen adalah tak bersandar dan normal dengan min 25 kg dan sisihan piawai 0.5 kg. Cari kebarangkalian P bahawa jumlah jisim 6 daripadanya melebihi 150.6 kg. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 6> 150.6 kg

P =

6.Taburan normalSukar

ketinggian lelaki dewasa bertaburan normal dengan min 178 cm dan sisihan piawai 7 cm. Seret titik pemotong supaya 20% teratas yang berlorek berada di sebelah kanannya. Cari titik pemotong x.

μ = 178 cmσ = 7 cm20%

x = cm

7.Selang keyakinanSederhana

Hayat bateri dua model telefon dibandingkan. Model 1: 30 telefon, min 114.5 j, sisihan piawai diketahui 7 j. Model 2: 100 telefon, min 116 j, sisihan piawai diketahui 13 j. Cari had atas selang keyakinan 95% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 30x̄₁ = 114.5 hσ₁ = 7 hn₂ = 100x̄₂ = 116 hσ₂ = 13 h95%

had atas = h

8.Selang keyakinanSukar

Dua baja diuji. Kumpulan petak 1: 5 petak, min hasil 68.5 kg, sisihan piawai 6.5 kg. Kumpulan petak 2: 21 petak, min 61.5 kg, sisihan piawai 9 kg. Andaikan varians sama (t terkumpul, df = n₁ + n₂ − 2). Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 99% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 5x̄₁ = 68.5s₁ = 6.5n₂ = 21x̄₂ = 61.5s₂ = 999%t(24) = 2.797

E = kg

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Min sesuatu populasi dituntut sebagai 80; sisihan piawai populasi diketahui ialah 40. Satu sampel rawak 100 cerapan mempunyai min 76.08. Uji H₀: μ = 80 terhadap H₁: μ ≠ 80. Cari nilai-p p.

μ₀ = 80σ = 40n = 100x̄ = 76.08H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Dalam satu percubaan, 24 daripada 80 pesakit yang menerima rawatan A sembuh, dan 132 daripada 300 pesakit yang menerima rawatan B. Dengan menggunakan perkadaran terkumpul, cari statistik ujian z bagi H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 24n₁ = 80x₂ = 132n₂ = 300

z =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.

n = 6Σx = 21Σy = 150Σx² = 91Σy² = 3830Σxy = 493

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (5.5, 58) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.

n = 6(5.5, 58)

e =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 16.41

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 203/5 = 40.6

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 8.4² + (−6.6)² + 15.4² + 8.4² + (−25.6)² = 1077

Sisihan piawai

s = √(1077/4) = 16.41

Jawapan

s = 16.41

2.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.8944

Piawaikan

z = 1.25

Jadual normal piawai

Φ(1.25) = 0.8944

P = 0.8944

Jawapan

P = 0.8944

3.Kebarangkalian

Jawapan: σ = 0.8047

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 0·0.3 + 1·0.35 + 2·0.35 = 1.05

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 0·0.3 + 1·0.35 + 4·0.35 = 1.75

Varians

Var(X) = 1.75 − 1.05² = 0.6475

σ = √0.6475 = 0.8047

Jawapan

σ = 0.8047

4.Kebarangkalian

Jawapan: E(G) = 1.5 €

Hasil bersih

G: 15 (p = 0.2), 245 (p = 0.01), −5 (p = 0.79)

Nilai jangkaan

E(G) = 15·0.2 + 245·0.01 − 5·0.79 = 1.5 €

Jawapan

E(G) = 1.5 €

Nilai positif bermaksud anda memperoleh wang secara purata.

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.3121

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan jumlah

μ_T = 150 kg, σ_T = 0.5·√6 = 1.225 kg

Piawaikan

z = (150.6 − 150)/1.225 = 0.49

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(0.49) = 0.3121

Jawapan

P = 0.3121

6.Taburan normal

Jawapan: x = 183.9 cm

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0.8

z daripada jadual

z ≈ 0.84

Kembali kepada unit asal

x = 178 + 0.84·7 = 183.9 cm

Jawapan

x = 183.9 cm

7.Selang keyakinan

Jawapan: had atas = 2.073 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Anggaran titik

x̄₁ − x̄₂ = 114.5 − 116 = −1.5

Ralat piawai

SE = √(7²/30 + 13²/100) = 1.823

Margin ralat

E = 1.96·1.823 = 3.573

Selang

−1.5 ± 3.573 → [−5.073, 2.073]

Jawapan

had atas = 2.073 h

Selang itu mengandungi 0, maka data tidak menunjukkan beza yang signifikan.

8.Selang keyakinan

Jawapan: E = 12.02 kg

Sisihan piawai terkumpul

s_p² = (4·6.5² + 20·9²)/24 = 74.54

s_p = 8.634

Margin ralat

E = 2.797·8.634·√(1/5 + 1/21) = 12.02

Jawapan

E = 12.02 kg

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: p = 0.3271

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Statistik ujian

SE = σ/√n = 40/√100 = 4

z = (76.08 − 80)/4 = −0.98

Luas ekor

Φ(0.98) = 0.8365

1 − Φ(0.98) = 0.1635

Nilai-p

p = 2·0.1635 = 0.3271

Jawapan

p = 0.3271

p > 0.05, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5%.

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: z = −2.262

Perkadaran sampel

p̂₁ = 24/80 = 0.3

p̂₂ = 132/300 = 0.44

p̂ = 156/380 = 0.4105

Ralat piawai di bawah H₀

SE = √(0.4105·0.5895·(1/80 + 1/300)) = 0.0619

Statistik ujian

z = (0.3 − 0.44)/0.0619 = −2.262

Jawapan

z = −2.262

|z| > 1.96, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = −0.8552

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Hasil tambah berpusat

S_xy = 493 − 21·150/6 = −32

S_xx = 91 − 21²/6 = 17.5

S_yy = 3830 − 150²/6 = 80

Pekali korelasi

r = −32/√(17.5·80) = −0.8552

Jawapan

r = −0.8552

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: e = 3.162

Min

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 268/6 = 44.67

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 89

Garis regresi

b = 89/17.5 = 5.086

a = 44.67 − 5.086·3.5 = 26.87

ŷ = 26.87 + 5.086·x

Nilai ramalan

ŷ = 26.87 + 5.086·5.5 = 54.84

Reja

e = 58 − 54.84 = 3.162

Jawapan

e = 3.162

Titik itu terletak di atas garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1