Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 59, 37, 11, 49, 25, 27, 29.

n = 7

s =

2.Statistik perihalanSukar

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 100 dan sisihan piawai 8. Cari skor-z z bagi skor 90.4.

μ = 100σ = 8x = 90.4

z =

3.KebarangkalianSederhana

Sebuah beg mengandungi 6 bebola merah dan 7 biru. Anda mengambil dua bebola tanpa memulangkan yang pertama. Berapakah kebarangkalian P kedua-duanya merah?

6 / 7

P =

4.KebarangkalianSukar

Satu permainan berharga €5 untuk dimain. Anda menang €25 dengan kebarangkalian 0.3 dan €100 dengan kebarangkalian 0.01; jika tidak anda tidak menang apa-apa. Pertaruhan tidak dikembalikan. Cari jangkaan keuntungan bersih E(G) setiap permainan.

pertaruhan = €5€25: p = 0.3€100: p = 0.01

E(G) = €

5.Taburan normalSederhana

X normal dengan min 12 min dan sisihan piawai 1.5 min; Y tak bersandar dan normal dengan min 20 min dan sisihan piawai 2 min. Cari kebarangkalian P bahawa X + Y melebihi 30 min. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μ_X = 12, σ_X = 1.5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 30 min

P =

6.Taburan normalSukar

hayat bateri bertaburan normal dengan min 500 h dan sisihan piawai 40 h. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 75% daripadanya (persentil ke-75).

μ = 500σ = 40P = 75%

x = h

7.Selang keyakinanSederhana

Hayat bateri dua model telefon dibandingkan. Model 1: 100 telefon, min 57.5 j, sisihan piawai diketahui 20 j. Model 2: 50 telefon, min 53.5 j, sisihan piawai diketahui 5 j. Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 99% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 100x̄₁ = 57.5 hσ₁ = 20 hn₂ = 50x̄₂ = 53.5 hσ₂ = 5 h99%

E = h

8.Selang keyakinanSukar

Sisihan piawai populasi ialah 28. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 90% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 2.5?

σ = 28E = 2.590%

n =

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Min sesuatu populasi dituntut sebagai 500; sisihan piawai populasi diketahui ialah 20. Satu sampel rawak 64 cerapan mempunyai min 496.1. Uji H₀: μ = 500 terhadap H₁: μ < 500. Cari nilai-p p.

μ₀ = 500σ = 20n = 64x̄ = 496.1H₁: μ < μ₀

p =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Ujian z satu sisi pada α = 0.05 mesti mengesan anjakan min sebanyak 1 unit dengan kuasa 80%. Sisihan piawai ialah 4. Cari saiz sampel minimum n.

α = 0.05kuasa = 80%δ = 1σ = 4z_α = 1.645z_β = 0.842

n =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.

n = 5Σx = 35Σy = 252Σx² = 285Σy² = 13234Σxy = 1902

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 3.

n = 5x = 3

ŷ =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 16.04

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 237/7 = 33.86

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 25.14² + 3.143² + (−22.86)² + 15.14² + (−8.857)² + (−6.857)² + (−4.857)² = 1543

Sisihan piawai

s = √(1543/6) = 16.04

Jawapan

s = 16.04

2.Statistik perihalan

Jawapan: z = −1.2

Piawaikan

z = (90.4 − 100)/8 = −1.2

Jawapan

z = −1.2

3.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.1923

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pengambilan pertama dan kedua

P = 6/13 · 5/12 = 30/156 = 0.1923

Jawapan

P = 0.1923

4.Kebarangkalian

Jawapan: E(G) = 3.5 €

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Hasil bersih

G: 20 (p = 0.3), 95 (p = 0.01), −5 (p = 0.69)

Nilai jangkaan

E(G) = 20·0.3 + 95·0.01 − 5·0.69 = 3.5 €

Jawapan

E(G) = 3.5 €

Nilai positif bermaksud anda memperoleh wang secara purata.

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.7881

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan hasil tambah

μ = 32 min, σ = √(1.5² + 2²) = 2.5 min

Piawaikan

z = (30 − 32)/2.5 = −0.8

Ekor atas

P = 1 − Φ(−0.8) = 1 − 0.2119 = 0.7881

Jawapan

P = 0.7881

6.Taburan normal

Jawapan: x = 527 h

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

z untuk persentil

Φ(z) = 0.75 → z = 0.6745

Kembali kepada x

x = 500 + 0.6745·40 = 526.98 h

Jawapan

x = 526.98 h

7.Selang keyakinan

Jawapan: E = 5.465 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Anggaran titik

x̄₁ − x̄₂ = 57.5 − 53.5 = 4

Ralat piawai

SE = √(20²/100 + 5²/50) = 2.121

Margin ralat

E = 2.576·2.121 = 5.465

Jawapan

E = 5.465 h

Selang itu mengandungi 0, maka data tidak menunjukkan beza yang signifikan.

8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 340

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (1.645·28/2.5)² = 339.4

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 340

Jawapan

n = 340

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: p = 0.05938

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Statistik ujian

SE = σ/√n = 20/√64 = 2.5

z = (496.1 − 500)/2.5 = −1.56

Luas ekor

Φ(1.56) = 0.9406

1 − Φ(1.56) = 0.0594

Nilai-p

p = 0.05938

Jawapan

p = 0.05938

p > 0.05, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5%.

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: n = 99

Saiz sampel untuk ujian: untuk mengesan anjakan benar δ dengan kuasa 1 − β dalam ujian z satu sisi pada aras α, ralat piawai mesti memenuhi δ = (z_α + z_β)·σ/√n, maka n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = ((1.645 + 0.842)·4/1)² = 98.96

Bundarkan ke atas

n = 99

Jawapan

n = 99

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9449

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Hasil tambah berpusat

S_xy = 1902 − 35·252/5 = 138

S_xx = 285 − 35²/5 = 40

S_yy = 13234 − 252²/5 = 533.2

Pekali korelasi

r = 138/√(40·533.2) = 0.9449

Jawapan

r = 0.9449

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: ŷ = 6.2

Min

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 64/5 = 12.8

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 88

Garis regresi

b = 88/40 = 2.2

a = 12.8 − 2.2·6 = −0.4

ŷ = −0.4 + 2.2·x

Ramalan

ŷ = −0.4 + 2.2·3 = 6.2

Jawapan

ŷ = 6.2

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1