Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min
x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang tersusun
Skor-z
z = (x − μ)/σ
Taburan normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap
P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Taburan normal

Skor-z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Kaedah

  1. Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
  4. Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

  1. Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
  2. Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
  3. Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1.96
Selang keyakinan
x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
  2. Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
  4. Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan
b = Sxy/Sxx
Pintasan
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Reja
e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana
152025303540455055

Cari sisihan piawai sampel s data: 58, 47, 55, 46, 13, 25.

n = 6
s =
2.Statistik perihalanSukar
z −2−1012

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 170 dan sisihan piawai 10. Cari skor-z z bagi skor 162.

μ = 170σ = 10x = 162
z =
3.KebarangkalianSederhana
n = 9k = 3N = ?

Dalam berapa cara N satu jawatankuasa 3 orang boleh dipilih daripada kumpulan 9? Susunan tidak penting.

n = 9k = 3
N =
4.KebarangkalianSukar
€p(x)−10.6510.3490.05

Satu permainan berharga €1 untuk dimain. Anda menang €2 dengan kebarangkalian 0.3 dan €50 dengan kebarangkalian 0.05; jika tidak anda tidak menang apa-apa. Pertaruhan tidak dikembalikan. Cari jangkaan keuntungan bersih E(G) setiap permainan.

pertaruhan = €1€2: p = 0.3€50: p = 0.05
E(G) = €
5.Taburan normalSederhana
29.339.5P = ?

masa penghantaran bertaburan normal dengan min 32 min dan sisihan piawai 6 min. Berapakah pecahan yang terletak antara 29.3 dan 39.5 min? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 32σ = 6x1 = 29.3x2 = 39.5
P =
6.Taburan normalSukar
μ = 100x = ?5%

skor IQ bertaburan normal dengan min 100 markah dan sisihan piawai 15 markah. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 5% daripadanya (persentil ke-5).

μ = 100σ = 15P = 5%
x = markah
7.Selang keyakinanSederhana
n = 20, s = 10.5L = ?Ux̄ = 45.5E90%

Satu sampel 20 item mempunyai min 45.5 dan sisihan piawai s = 10.5. Populasi lebih kurang normal. Cari had bawah selang keyakinan 90% untuk min.

n = 20x̄ = 45.5s = 10.590%t(19) = 1.729
had bawah =
8.Selang keyakinanSukar
n = 16Lσ = ?s = 2.395%

Diameter 16 aci yang dimesin mempunyai sisihan piawai sampel 2.3 µm. Dengan mengandaikan diameter bertaburan normal, cari had atas σ selang keyakinan 95% bagi sisihan piawai populasi. Dengan df = 15, 2.5% taburan χ² terletak di bawah 6.262 dan 2.5% terletak di atas 27.488.

n = 16s = 2.3 µmχ² = 6.262, 27.488
σ = µm
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
t −2.13102.131

Satu sampel 16 pelajar mempunyai skor min 108.4 dan sisihan piawai sampel 15. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 108.4s = 15n = 16
t =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
σ = 5, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 295%

Seberapa besarkah sampel mesti supaya selang keyakinan 95% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 2? Sisihan piawai ialah 5. Cari saiz sampel terkecil n.

σ = 5E = 295%
n =
11.Regresi linear & korelasiSederhana
xy153317441956215523712576xy152025406080

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Cari pekali korelasi Pearson r.

n = 6
r =
12.Regresi linear & korelasiSukar
xy25947368689710107xy5106080100x = 5

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 5.

n = 5x = 5
ŷ =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 17.81

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 244/6 = 40.67

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 17.33² + 6.333² + 14.33² + 5.333² + (−27.67)² + (−15.67)² = 1585

Sisihan piawai

s = √(1585/5) = 17.81

Jawapan

s = 17.81
2.Statistik perihalan

Jawapan: z = −0.8

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Piawaikan

z = (162 − 170)/10 = −0.8

Jawapan

z = −0.8
3.Kebarangkalian

Jawapan: N = 84

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Gabungan

C(9, 3) = (9·8·7)/(3·2·1) = 84

Jawapan

N = 84
4.Kebarangkalian

Jawapan: E(G) = 2.1 €

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Hasil bersih

G: 1 (p = 0.3), 49 (p = 0.05), −1 (p = 0.65)

Nilai jangkaan

E(G) = 1·0.3 + 49·0.05 − 1·0.65 = 2.1 €

Jawapan

E(G) = 2.1 €

Nilai positif bermaksud anda memperoleh wang secara purata.

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.568

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (29.3 − 32)/6 = −0.45
z₂ = (39.5 − 32)/6 = 1.25

Luas antara

P = Φ(1.25) − Φ(−0.45) = 0.8944 − 0.3264 = 0.568

Jawapan

P = 0.568
6.Taburan normal

Jawapan: x = 75.33 markah

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

z untuk persentil

Φ(z) = 0.05 → z = −1.645

Kembali kepada x

x = 100 + −1.645·15 = 75.33 markah

Jawapan

x = 75.33 markah
7.Selang keyakinan

Jawapan: had bawah = 41.44

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 19, t = 1.729

Margin ralat

E = 1.729·10.5/√20 = 4.059

Selang

45.5 ± 4.059 → [41.44, 49.56]

Jawapan

had bawah = 41.44
8.Selang keyakinan

Jawapan: σ = 3.56 µm

Selang bagi suatu varians: (n − 1)s²/σ² mempunyai taburan χ² dengan darjah kebebasan n − 1. Selang 95% bagi σ² bermula daripada (n − 1)s² dibahagi nilai χ² atas (2.5% di atasnya) hingga (n − 1)s² dibahagi nilai χ² bawah (2.5% di bawahnya); selang bagi σ ialah punca kuasa dua kedua-dua had. Ia tidak simetri di sekitar s.

Hasil tambah kuasa dua

(n − 1)s² = 15·2.3² = 79.35

Had bagi σ²

79.35/27.488 = 2.887
79.35/6.262 = 12.67

Had bagi σ

σ = √12.67 = 3.56 µm

Jawapan

σ = 3.56 µm

Selang 95% bagi σ: [1.699, 3.56] µm.

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = −3.093

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai

SE = 15/√16 = 15/4 = 3.75

Statistik ujian

t = (108.4 − 120)/3.75 = −3.093

Jawapan

t = −3.093
t0.025; df = 15 = 2.131

|t| > 2.131, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: n = 25

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Selesaikan untuk n

n = (1.96·5/2)² = 24.01

Bundarkan ke atas

n = 25

Jawapan

n = 25
11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9784

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 120/6 = 20
ȳ = 335/6 = 55.83

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 295
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1299

Pekali korelasi

r = 295/√(70·1299) = 0.9784

Jawapan

r = 0.9784
12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: ŷ = 78.4

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 422/5 = 84.4

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 240

Garis regresi

b = 240/40 = 6
a = 84.4 − 6·6 = 48.4
ŷ = 48.4 + 6·x

Ramalan

ŷ = 48.4 + 6·5 = 78.4

Jawapan

ŷ = 78.4

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1