Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min
x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang tersusun
Skor-z
z = (x − μ)/σ
Taburan normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap
P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Taburan normal

Skor-z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Kaedah

  1. Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
  4. Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

  1. Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
  2. Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
  3. Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1.96
Selang keyakinan
x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
  2. Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
  4. Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan
b = Sxy/Sxx
Pintasan
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Reja
e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana
25303540455055

Cari sisihan piawai sampel s data: 49, 26, 55, 43, 25.

n = 5
s =
2.Statistik perihalanSukar
z −2−1012

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 60 dan sisihan piawai 8. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 53.6?

μ = 60σ = 8x = 53.6
P =
3.KebarangkalianSederhana
xp(x)100.35200.3300.25400.1μ = 21

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.35, 0.3, 0.25, 0.1
Var(X) =
4.KebarangkalianSukar
n = 8, p = 0.25: P(X ≤ 1) = ?k012345678

8 komponen diuji, dan setiap satu gagal dengan kebarangkalian 0.25, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P paling banyak satu gagal?

n = 8p = 0.25
P =
5.Taburan normalSederhana
438534P = ?

hayat bateri bertaburan normal dengan min 500 h dan sisihan piawai 40 h. Berapakah pecahan yang terletak antara 438 dan 534 h? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 500σ = 40x1 = 438x2 = 534
P =
6.Taburan normalSukar
157164171178185192199cmbawah 10%

ketinggian lelaki dewasa bertaburan normal dengan min 178 cm dan sisihan piawai 7 cm. Seret titik pemotong supaya 10% terbawah yang berlorek berada di sebelah kirinya. Cari titik pemotong x.

μ = 178 cmσ = 7 cm10%
x = cm
7.Selang keyakinanSederhana
n = 16, sd​ = 1.20LUd̄ = 7.7E = ?90%

Tekanan darah 16 pesakit diukur sebelum dan selepas rawatan. Beza d = sebelum − selepas (mmHg) mempunyai min 7.7 dan sisihan piawai 1.2. Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 90% untuk min beza.

n = 16d̄ = 7.7sd = 1.290%t(15) = 1.753
E = mmHg
8.Selang keyakinanSukar
μ₁ − μ₂, t(15) = 2.9470L = ?Ux̄₁ − x̄₂E99%

Dua baja diuji. Kumpulan petak 1: 8 petak, min hasil 65 kg, sisihan piawai 3.5 kg. Kumpulan petak 2: 9 petak, min 56.5 kg, sisihan piawai 4 kg. Andaikan varians sama (t terkumpul, df = n₁ + n₂ − 2). Cari had bawah selang keyakinan 99% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 8x̄₁ = 65s₁ = 3.5n₂ = 9x̄₂ = 56.5s₂ = 499%t(15) = 2.947
had bawah = kg
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
−1.961.96z = ?

Dua talian pengeluaran membuat bahagian yang sama. Talian 1: sampel 100 bahagian mempunyai min panjang 45.5 mm, dan sisihan piawai diketahui talian itu ialah 14 mm. Talian 2: sampel 80 bahagian mempunyai min 49.5 mm, sisihan piawai diketahui 14 mm. Cari statistik ujian z bagi H₀: μ₁ = μ₂, dengan mengambil beza sebagai x̄₁ − x̄₂ (talian 1 tolak talian 2).

n₁ = 100x̄₁ = 45.5 mmσ₁ = 14 mmn₂ = 80x̄₂ = 49.5 mmσ₂ = 14 mm
z =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
z −1.9601.96

Satu sampel 16 ukuran mempunyai min 114.4. Sisihan piawai populasi ialah 15. Cari had atas U selang keyakinan 95% bagi min.

x̄ = 114.4σ = 15n = 1695%
U =
11.Regresi linear & korelasiSederhana
xy122220320419515613xy2461520

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Cari pekali korelasi Pearson r.

n = 6
r =
12.Regresi linear & korelasiSukar
xy174719432162235825742778xy20256080x = 26

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 26.

n = 6x = 26
ŷ =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 13.56

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 198/5 = 39.6

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 9.4² + (−13.6)² + 15.4² + 3.4² + (−14.6)² = 735.2

Sisihan piawai

s = √(735.2/4) = 13.56

Jawapan

s = 13.56
2.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.2119

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Piawaikan

z = −0.8

Jadual normal piawai

Φ(−0.8) = 0.2119
P = 0.2119

Jawapan

P = 0.2119
3.Kebarangkalian

Jawapan: Var(X) = 99

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 10·0.35 + 20·0.3 + 30·0.25 + 40·0.1 = 21

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 100·0.35 + 400·0.3 + 900·0.25 + 1600·0.1 = 540

Varians

Var(X) = 540 − 21² = 99

Jawapan

Var(X) = 99
4.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.3671

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Sifar dan satu kegagalan

P(X = 0) = 0.758 = 0.1001
P(X = 1) = 8·0.25·0.757 = 0.267

Tambahkannya

P = 0.1001 + 0.267 = 0.3671

Jawapan

P = 0.3671
5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.7418

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (438 − 500)/40 = −1.55
z₂ = (534 − 500)/40 = 0.85

Luas antara

P = Φ(0.85) − Φ(−1.55) = 0.8023 − 0.06057 = 0.7418

Jawapan

P = 0.7418
6.Taburan normal

Jawapan: x = 169 cm

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0.1

z daripada jadual

z ≈ −1.28

Kembali kepada unit asal

x = 178 − 1.28·7 = 169 cm

Jawapan

x = 169 cm
7.Selang keyakinan

Jawapan: E = 0.5259 mmHg

Selang bagi suatu beza: anggaran ± nilai genting × ralat piawai. Bagi dua min bebas dengan σ diketahui: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) dan z. Dengan varians sama yang tidak diketahui: s_p terkumpul dan t dengan darjah kebebasan n₁ + n₂ − 2. Bagi data berpasangan, kerjakan pada beza: d̄ ± t·s_d/√n.

Nilai genting

df = 15, t = 1.753

Margin ralat

E = 1.753·1.2/√16 = 0.5259

Jawapan

E = 0.5259 mmHg
8.Selang keyakinan

Jawapan: had bawah = 3.094 kg

Selang bagi suatu beza: anggaran ± nilai genting × ralat piawai. Bagi dua min bebas dengan σ diketahui: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) dan z. Dengan varians sama yang tidak diketahui: s_p terkumpul dan t dengan darjah kebebasan n₁ + n₂ − 2. Bagi data berpasangan, kerjakan pada beza: d̄ ± t·s_d/√n.

Sisihan piawai terkumpul

sp² = (7·3.5² + 8·4²)/15 = 14.25
sp = 3.775

Margin ralat

E = 2.947·3.775·√(1/8 + 1/9) = 5.406

Selang

8.5 ± 5.406 → [3.094, 13.91]

Jawapan

had bawah = 3.094 kg
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: z = −1.905

Ujian hipotesis: statistik ujian = (anggaran − nilai di bawah H₀)/(ralat piawai di bawah H₀). Nilai-p ialah kebarangkalian, dengan andaian H₀ benar, memperoleh statistik yang sekurang-kurangnya sama ekstrem dengan yang dicerap: luas dalam satu ekor bagi H₁ satu sisi, dua kali luas ekor bagi H₁ dua sisi. Tolak H₀ apabila p ≤ α.

Ralat piawai bagi beza

SE = √(14²/100 + 14²/80) = √4.41 = 2.1

Statistik ujian

z = (45.5 − 49.5)/2.1 = −1.905

Jawapan

z = −1.905

|z| < 1.96, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: U = 121.8

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Margin ralat

E = 1.96·15/√16 = 7.35

Had selang

U = 114.4 + 7.35 = 121.8

Jawapan

U = 121.8
11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = −0.9505

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 109/6 = 18.17

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −30.5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 58.83

Pekali korelasi

r = −30.5/√(17.5·58.83) = −0.9505

Jawapan

r = −0.9505
12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: ŷ = 74.28

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 132/6 = 22
ȳ = 362/6 = 60.33

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 244

Garis regresi

b = 244/70 = 3.486
a = 60.33 − 3.486·22 = −16.35
ŷ = −16.35 + 3.486·x

Ramalan

ŷ = −16.35 + 3.486·26 = 74.28

Jawapan

ŷ = 74.28

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1