Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
2Soalan latihan
1.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 30, 59, 11, 28, 18, 46, 12.
n = 7
s =
2.Statistik perihalanSukar
Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 50 dan sisihan piawai 5. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 57.5?
μ = 50σ = 5x = 57.5
P =
3.KebarangkalianSederhana
Dalam berapa cara N satu jawatankuasa 5 orang boleh dipilih daripada kumpulan 8? Susunan tidak penting.
n = 8k = 5
N =
4.KebarangkalianSukar
X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 2X + 20. Cari sisihan piawai σY bagi Y.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.2, 0.2, 0.25, 0.35Y = 2X + 20
σY =
5.Taburan normalSederhana
X normal dengan min 120 mm dan sisihan piawai 0.3 mm; Y tak bersandar dan normal dengan min 80 mm dan sisihan piawai 0.4 mm. Cari kebarangkalian P bahawa X + Y melebihi 199.8 mm. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.
μX = 120, σX = 0.3μY = 80, σY = 0.4X + Y > 199.8 mm
P =
6.Taburan normalSukar
Masa pusingan pelari A X dan masa pusingan pelari B Y adalah tak bersandar dan normal: X mempunyai min 52 s dan sisihan piawai 4 s, Y mempunyai min 48 s dan sisihan piawai 3 s. Cari kebarangkalian P bahawa X lebih besar daripada Y. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
7.Selang keyakinanSederhana
Satu sampel 9 item mempunyai min 13 dan sisihan piawai s = 5.5. Populasi lebih kurang normal. Cari had atas selang keyakinan 90% untuk min.
n = 9x̄ = 13s = 5.590%t(8) = 1.86
had atas =
8.Selang keyakinanSukar
Dua baja diuji. Kumpulan petak 1: 5 petak, min hasil 38 kg, sisihan piawai 5.5 kg. Kumpulan petak 2: 21 petak, min 28 kg, sisihan piawai 7 kg. Andaikan varians sama (t terkumpul, df = n₁ + n₂ − 2). Cari had bawah selang keyakinan 99% untuk μ₁ − μ₂.
n₁ = 5x̄₁ = 38s₁ = 5.5n₂ = 21x̄₂ = 28s₂ = 799%t(24) = 2.797
had bawah = kg
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
Dua kaedah pengajaran dibandingkan. Kumpulan 1: 5 pelajar, skor min 106, sisihan piawai 10. Kumpulan 2: 12 pelajar, skor min 111.9, sisihan piawai 10. Andaikan varians populasi sama dan gunakan ujian t dua sampel terkumpul. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ₁ = μ₂, dengan mengambil beza sebagai x̄₁ − x̄₂ (kumpulan 1 tolak kumpulan 2).
n₁ = 5x̄₁ = 106s₁ = 10n₂ = 12x̄₂ = 111.9s₂ = 10
t =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Satu sampel 64 ukuran mempunyai min 96.8. Sisihan piawai populasi ialah 12. Cari had bawah L selang keyakinan 95% bagi min.
x̄ = 96.8σ = 12n = 6495%
L =
11.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Cari pekali korelasi Pearson r.
n = 6
r =
12.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 4.
n = 6x = 4
ŷ =
3Larutan
1.Statistik perihalan
Jawapan: s = 17.91
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 204/7 = 29.14
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = 0.8571² + 29.86² + (−18.14)² + (−1.143)² + (−11.14)² + 16.86² + (−17.14)² = 1925
Sisihan piawai
s = √(1925/6) = 17.91
Jawapan
s = 17.91
2.Statistik perihalan
Jawapan: P = 0.06681
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = 1.5
Jadual normal piawai
Φ(1.5) = 0.9332
P = 1 − 0.9332 = 0.06681
Jawapan
P = 0.06681
3.Kebarangkalian
Jawapan: N = 56
Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Gabungan
C(8, 5) = (8·7·6·5·4)/(5·4·3·2·1) = 56
Jawapan
N = 56
4.Kebarangkalian
Jawapan: σY = 4.539
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Serakan X
μ = 3.5, Var(X) = 5.15, σX = 2.269
Perubahan linear
σY = |2|·2.269 = 4.539
Jawapan
σY = 4.539
Min memang berubah: E(Y) = 2·3.5 + 20 = 27.
5.Taburan normal
Jawapan: P = 0.6554
Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).
Taburan hasil tambah
μ = 200 mm, σ = √(0.3² + 0.4²) = 0.5 mm
Piawaikan
z = (199.8 − 200)/0.5 = −0.4
Ekor atas
P = 1 − Φ(−0.4) = 1 − 0.3446 = 0.6554
Jawapan
P = 0.6554
6.Taburan normal
Jawapan: P = 0.7881
Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).
Taburan beza
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
Piawaikan
z = (0 − 4)/5 = −0.8
Kebarangkalian
P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881
Jawapan
P = 0.7881
7.Selang keyakinan
Jawapan: had atas = 16.41
Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.
Nilai genting
df = n − 1 = 8, t = 1.86
Margin ralat
E = 1.86·5.5/√9 = 3.41
Selang
13 ± 3.41 → [9.59, 16.41]
Jawapan
had atas = 16.41
8.Selang keyakinan
Jawapan: had bawah = 0.573 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Sisihan piawai terkumpul
sp² = (4·5.5² + 20·7²)/24 = 45.88
sp = 6.773
Margin ralat
E = 2.797·6.773·√(1/5 + 1/21) = 9.427
Selang
10 ± 9.427 → [0.573, 19.43]
Jawapan
had bawah = 0.573 kg
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: t = −1.108
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Varians terkumpul
sp² = (4·10² + 11·10²)/15 = 100
sp = 10
Ralat piawai
SE = 10·√(1/5 + 1/12) = 5.323
Statistik ujian
t = (106 − 111.9)/5.323 = −1.108
Jawapan
t = −1.108
Dengan df = 15, nilai genting 5% dua sisi ialah 2.131; |t| lebih kecil, maka H₀ tidak ditolak.
10.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: L = 93.86
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Margin ralat
E = 1.96·12/√64 = 2.94
Had selang
L = 96.8 − 2.94 = 93.86
Jawapan
L = 93.86
11.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r = 0.9612
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 126/6 = 21
ȳ = 522/6 = 87
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 272
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1144
Pekali korelasi
r = 272/√(70·1144) = 0.9612
Jawapan
r = 0.9612
12.Regresi linear & korelasi
Jawapan: ŷ = 43.85
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 320/6 = 53.33
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 332
Garis regresi
b = 332/70 = 4.743
a = 53.33 − 4.743·6 = 24.88
ŷ = 24.88 + 4.743·x
Ramalan
ŷ = 24.88 + 4.743·4 = 43.85
Jawapan
ŷ = 43.85
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1