Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 38, 31, 50, 33, 60, 30.

n = 6

s =

2.Statistik perihalanSukar

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 50 dan sisihan piawai 5. Cari skor-z z bagi skor 47.5.

μ = 50σ = 5x = 47.5

z =

3.KebarangkalianSederhana

Sebuah beg mengandungi 6 bebola merah dan 4 biru. Anda mengambil dua bebola tanpa memulangkan yang pertama. Berapakah kebarangkalian P kedua-duanya merah?

6 / 4

P =

4.KebarangkalianSukar

12 komponen diuji, dan setiap satu gagal dengan kebarangkalian 0.2, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P paling banyak satu gagal?

n = 12p = 0.2

P =

5.Taburan normalSederhana

X normal dengan min 60 s dan sisihan piawai 5 s; Y tak bersandar dan normal dengan min 45 s dan sisihan piawai 4 s. Cari kebarangkalian P bahawa X + Y melebihi 98.6 s. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 98.6 s

P =

6.Taburan normalSukar

masa penghantaran bertaburan normal dengan min 32 min dan sisihan piawai 6 min. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 90% daripadanya (persentil ke-90).

μ = 32σ = 6P = 90%

x = min

7.Selang keyakinanSederhana

Hayat bateri dua model telefon dibandingkan. Model 1: 60 telefon, min 42 j, sisihan piawai diketahui 20 j. Model 2: 30 telefon, min 46 j, sisihan piawai diketahui 15 j. Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 95% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 60x̄₁ = 42 hσ₁ = 20 hn₂ = 30x̄₂ = 46 hσ₂ = 15 h95%

E = h

8.Selang keyakinanSukar

Dua baja diuji. Kumpulan petak 1: 9 petak, min hasil 28 kg, sisihan piawai 7.5 kg. Kumpulan petak 2: 8 petak, min 26 kg, sisihan piawai 6 kg. Andaikan varians sama (t terkumpul, df = n₁ + n₂ − 2). Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 95% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 9x̄₁ = 28s₁ = 7.5n₂ = 8x̄₂ = 26s₂ = 695%t(15) = 2.131

E = kg

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

10 pekerja mengambil ujian menaip sebelum dan selepas kursus latihan. Bagi setiap orang beza d = selepas − sebelum (perkataan seminit) direkodkan. Min beza ialah 4.1 dan sisihan piawai beza ialah 3.6. Cari statistik ujian berpasangan t bagi H₀: μ_d = 0.

n = 10d̄ = 4.1s_d = 3.6

t =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Ujian z satu sisi bagi H₀: μ = 100 terhadap H₁: μ > 100 dijalankan pada α = 0.01 dengan sampel 100; sisihan piawai diketahui ialah 10. Pada hakikatnya min ialah 102.2. Cari kuasa 1 − β ujian itu dalam peratus.

μ₀ = 100μ = 102.2σ = 10n = 100α = 0.01

1 − β = %

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.

n = 5Σx = 105Σy = 291Σx² = 2295Σy² = 18317Σxy = 6459

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x yang manakah garis meramalkan ŷ = 43?

n = 5ŷ = 43

x =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 12.11

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 242/6 = 40.33

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−2.333)² + (−9.333)² + 9.667² + (−7.333)² + 19.67² + (−10.33)² = 733.3

Sisihan piawai

s = √(733.3/5) = 12.11

Jawapan

s = 12.11

2.Statistik perihalan

Jawapan: z = −0.5

Piawaikan

z = (47.5 − 50)/5 = −0.5

Jawapan

z = −0.5

3.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.3333

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pengambilan pertama dan kedua

P = 6/10 · 5/9 = 30/90 = 0.3333

Jawapan

P = 0.3333

4.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.2749

Sifar dan satu kegagalan

P(X = 0) = 0.8¹² = 0.06872

P(X = 1) = 12·0.2·0.8¹¹ = 0.2062

Tambahkannya

P = 0.06872 + 0.2062 = 0.2749

Jawapan

P = 0.2749

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.8413

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan hasil tambah

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6.403 s

Piawaikan

z = (98.6 − 105)/6.403 = −1

Ekor atas

P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0.1587 = 0.8413

Jawapan

P = 0.8413

6.Taburan normal

Jawapan: x = 39.69 min

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

z untuk persentil

Φ(z) = 0.9 → z = 1.282

Kembali kepada x

x = 32 + 1.282·6 = 39.69 min

Jawapan

x = 39.69 min

7.Selang keyakinan

Jawapan: E = 7.377 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Anggaran titik

x̄₁ − x̄₂ = 42 − 46 = −4

Ralat piawai

SE = √(20²/60 + 15²/30) = 3.764

Margin ralat

E = 1.96·3.764 = 7.377

Jawapan

E = 7.377 h

Selang itu mengandungi 0, maka data tidak menunjukkan beza yang signifikan.

8.Selang keyakinan

Jawapan: E = 7.084 kg

Sisihan piawai terkumpul

s_p² = (8·7.5² + 7·6²)/15 = 46.8

s_p = 6.841

Margin ralat

E = 2.131·6.841·√(1/9 + 1/8) = 7.084

Jawapan

E = 7.084 kg

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = 3.601

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Ralat piawai bagi min beza

SE = 3.6/√10 = 1.138

Statistik ujian

t = 4.1/1.138 = 3.601

Jawapan

t = 3.601

Dengan df = 9, nilai genting 5% dua sisi ialah 2.262; |t| lebih besar, maka H₀ ditolak.

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: 1 − β = 44.99 %

Kuasa ujian: kuasa = 1 − β ialah kebarangkalian menolak H₀ apabila ia salah. Cari nilai pemotongan x̄c daripada μ₀ dan z_α, kemudian hitung kebarangkalian jatuh melepasi x̄c menggunakan min sebenar: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Min sampel genting

SE = 10/√100 = 1

x̄_c = 100 + 2.326·1 = 102.3

z di bawah min sebenar

z = (102.3 − 102.2)/1 = 0.126

Kuasa

kuasa = P(Z > 0.126) = 44.99%

1 − β = 44.99%

Jawapan

1 − β = 44.99%

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9872

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Hasil tambah berpusat

S_xy = 6459 − 105·291/5 = 348

S_xx = 2295 − 105²/5 = 90

S_yy = 18317 − 291²/5 = 1381

Pekali korelasi

r = 348/√(90·1381) = 0.9872

Jawapan

r = 0.9872

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: x = 18.37

Min

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 241/5 = 48.2

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 288

Garis regresi

b = 288/90 = 3.2

a = 48.2 − 3.2·20 = −15.8

ŷ = −15.8 + 3.2·x

Selesaikan untuk x

x = (43 − (−15.8))/3.2 = 18.37

Jawapan

x = 18.37

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1