Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
2Soalan latihan
1.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 33, 15, 37, 14, 16, 19, 16.
n = 7
s =
2.Statistik perihalanSukar
Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 50 dan sisihan piawai 5. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 52?
μ = 50σ = 5x = 52
P =
3.KebarangkalianSederhana
Sebuah beg mengandungi 7 bebola merah dan 6 biru. Anda mengambil dua bebola tanpa memulangkan yang pertama. Berapakah kebarangkalian P kedua-duanya merah?
7 / 6
P =
4.KebarangkalianSukar
X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 5X − 3. Cari sisihan piawai σY bagi Y.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.05, 0.35, 0.3, 0.15, 0.15Y = 5X − 3
σY =
5.Taburan normalSederhana
X normal dengan min 120 mm dan sisihan piawai 0.3 mm; Y tak bersandar dan normal dengan min 80 mm dan sisihan piawai 0.4 mm. Cari kebarangkalian P bahawa X + Y melebihi 200.8 mm. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.
μX = 120, σX = 0.3μY = 80, σY = 0.4X + Y > 200.8 mm
P =
6.Taburan normalSukar
skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 65 markah dan sisihan piawai 10 markah. Seret titik pemotong supaya 75% terbawah yang berlorek berada di sebelah kirinya. Cari titik pemotong x.
μ = 65 markahσ = 10 markah75%
x = markah
7.Selang keyakinanSederhana
Tekanan darah 11 pesakit diukur sebelum dan selepas rawatan. Beza d = sebelum − selepas (mmHg) mempunyai min −4.2 dan sisihan piawai 6.8. Cari had bawah selang keyakinan 99% untuk min beza.
n = 11d̄ = −4.2sd = 6.899%t(10) = 3.169
had bawah = mmHg
8.Selang keyakinanSukar
Dua baja diuji. Kumpulan petak 1: 5 petak, min hasil 92 kg, sisihan piawai 10 kg. Kumpulan petak 2: 16 petak, min 93 kg, sisihan piawai 5 kg. Andaikan varians sama (t terkumpul, df = n₁ + n₂ − 2). Cari had bawah selang keyakinan 99% untuk μ₁ − μ₂.
n₁ = 5x̄₁ = 92s₁ = 10n₂ = 16x̄₂ = 93s₂ = 599%t(19) = 2.861
had bawah = kg
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
9 pekerja mengambil ujian menaip sebelum dan selepas kursus latihan. Bagi setiap orang beza d = selepas − sebelum (perkataan seminit) direkodkan. Min beza ialah −5.79 dan sisihan piawai beza ialah 5.6. Cari statistik ujian berpasangan t bagi H₀: μd = 0.
n = 9d̄ = −5.79sd = 5.6
t =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Satu sampel 81 ukuran mempunyai min 496.4. Sisihan piawai populasi ialah 20. Cari had atas U selang keyakinan 95% bagi min.
x̄ = 496.4σ = 20n = 8195%
U =
11.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Cari pekali korelasi Pearson r.
n = 5
r =
12.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 6.
n = 5x = 6
ŷ =
3Larutan
1.Statistik perihalan
Jawapan: s = 9.467
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 150/7 = 21.43
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = 11.57² + (−6.429)² + 15.57² + (−7.429)² + (−5.429)² + (−2.429)² + (−5.429)² = 537.7
Sisihan piawai
s = √(537.7/6) = 9.467
Jawapan
s = 9.467
2.Statistik perihalan
Jawapan: P = 0.6554
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = 0.4
Jadual normal piawai
Φ(0.4) = 0.6554
P = 0.6554
Jawapan
P = 0.6554
3.Kebarangkalian
Jawapan: P = 0.2692
Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Pengambilan pertama dan kedua
P = 7/13 · 6/12 = 42/156 = 0.2692
Jawapan
P = 0.2692
4.Kebarangkalian
Jawapan: σY = 5.701
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Serakan X
μ = 3, Var(X) = 1.3, σX = 1.14
Perubahan linear
σY = |5|·1.14 = 5.701
Jawapan
σY = 5.701
Min memang berubah: E(Y) = 5·3 − 3 = 12.
5.Taburan normal
Jawapan: P = 0.0548
Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).
Taburan hasil tambah
μ = 200 mm, σ = √(0.3² + 0.4²) = 0.5 mm
Piawaikan
z = (200.8 − 200)/0.5 = 1.6
Ekor atas
P = 1 − Φ(1.6) = 1 − 0.9452 = 0.0548
Jawapan
P = 0.0548
6.Taburan normal
Jawapan: x = 71.7 markah
Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri
Φ(z) = 0.75
z daripada jadual
z ≈ 0.67
Kembali kepada unit asal
x = 65 + 0.67·10 = 71.7 markah
Jawapan
x = 71.7 markah
7.Selang keyakinan
Jawapan: had bawah = −10.7 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Nilai genting
df = 10, t = 3.169
Margin ralat
E = 3.169·6.8/√11 = 6.497
Selang
−4.2 ± 6.497 → [−10.7, 2.297]
Jawapan
had bawah = −10.7 mmHg
8.Selang keyakinan
Jawapan: had bawah = −10.36 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Sisihan piawai terkumpul
sp² = (4·10² + 15·5²)/19 = 40.79
sp = 6.387
Margin ralat
E = 2.861·6.387·√(1/5 + 1/16) = 9.362
Selang
−1 ± 9.362 → [−10.36, 8.362]
Jawapan
had bawah = −10.36 kg
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: t = −3.102
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Ralat piawai bagi min beza
SE = 5.6/√9 = 1.867
Statistik ujian
t = −5.79/1.867 = −3.102
Jawapan
t = −3.102
Dengan df = 8, nilai genting 5% dua sisi ialah 2.306; |t| lebih besar, maka H₀ ditolak.
10.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: U = 500.8
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Margin ralat
E = 1.96·20/√81 = 4.356
Had selang
U = 496.4 + 4.356 = 500.8
Jawapan
U = 500.8
11.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r = 0.9701
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 90/5 = 18
ȳ = 358/5 = 71.6
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 128
Syy = Σ(y − ȳ)² = 435.2
Pekali korelasi
r = 128/√(40·435.2) = 0.9701
Jawapan
r = 0.9701
12.Regresi linear & korelasi
Jawapan: ŷ = 56.15
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 271/5 = 54.2
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 78
Garis regresi
b = 78/40 = 1.95
a = 54.2 − 1.95·5 = 44.45
ŷ = 44.45 + 1.95·x
Ramalan
ŷ = 44.45 + 1.95·6 = 56.15
Jawapan
ŷ = 56.15
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1