Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 37, 29, 21, 43, 54, 41.

n = 6

s =

2.Statistik perihalanSukar

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 170 dan sisihan piawai 15. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 152?

μ = 170σ = 15x = 152

P =

3.KebarangkalianSederhana

Sebuah beg mengandungi 6 bebola merah dan 8 biru. Anda mengambil dua bebola tanpa memulangkan yang pertama. Berapakah kebarangkalian P kedua-duanya merah?

6 / 8

P =

4.KebarangkalianSukar

Satu ujian mempunyai 7 soalan aneka pilihan. Seorang pelajar yang meneka mendapat setiap satu betul dengan kebarangkalian 0.2, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P tepat 3 jawapan betul?

n = 7p = 0.2k = 3

P =

5.Taburan normalSederhana

Jisim bolt adalah tak bersandar dan normal dengan min 40 g dan sisihan piawai 1.2 g. Cari kebarangkalian P bahawa jumlah jisim 12 daripadanya di bawah 484.2 g. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μ = 40 gσ = 1.2 gn = 12< 484.2 g

P =

6.Taburan normalSukar

skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 65 markah dan sisihan piawai 10 markah. Seret titik pemotong supaya 30% teratas yang berlorek berada di sebelah kanannya. Cari titik pemotong x.

μ = 65 markahσ = 10 markah30%

x = markah

7.Selang keyakinanSederhana

Tekanan darah 16 pesakit diukur sebelum dan selepas rawatan. Beza d = sebelum − selepas (mmHg) mempunyai min 5.6 dan sisihan piawai 4.4. Cari had atas selang keyakinan 99% untuk min beza.

n = 16d̄ = 5.6s_d = 4.499%t(15) = 2.947

had atas = mmHg

8.Selang keyakinanSukar

Sisihan piawai populasi ialah 13. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 95% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 1.5?

σ = 13E = 1.595%

n =

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Dua talian pengeluaran membuat bahagian yang sama. Talian 1: sampel 50 bahagian mempunyai min panjang 137.5 mm, dan sisihan piawai diketahui talian itu ialah 10 mm. Talian 2: sampel 60 bahagian mempunyai min 142.9 mm, sisihan piawai diketahui 7 mm. Cari statistik ujian z bagi H₀: μ₁ = μ₂, dengan mengambil beza sebagai x̄₁ − x̄₂ (talian 1 tolak talian 2).

n₁ = 50x̄₁ = 137.5 mmσ₁ = 10 mmn₂ = 60x̄₂ = 142.9 mmσ₂ = 7 mm

z =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Dalam satu percubaan, 45 daripada 300 pesakit yang menerima rawatan A sembuh, dan 18 daripada 150 pesakit yang menerima rawatan B. Dengan menggunakan perkadaran terkumpul, cari statistik ujian z bagi H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 45n₁ = 300x₂ = 18n₂ = 150

z =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Cari pekali korelasi Pearson r.

n = 5

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x yang manakah garis meramalkan ŷ = 77?

n = 5ŷ = 77

x =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 11.48

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 225/6 = 37.5

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−0.5)² + (−8.5)² + (−16.5)² + 5.5² + 16.5² + 3.5² = 659.5

Sisihan piawai

s = √(659.5/5) = 11.48

Jawapan

s = 11.48

2.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.1151

Piawaikan

z = −1.2

Jadual normal piawai

Φ(−1.2) = 0.1151

P = 0.1151

Jawapan

P = 0.1151

3.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.1648

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pengambilan pertama dan kedua

P = 6/14 · 5/13 = 30/182 = 0.1648

Jawapan

P = 0.1648

4.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.1147

Formula binomial

P(X = 3) = 35·0.2³·0.8⁴ = 35·0.008·0.4096 = 0.1147

Jawapan

P = 0.1147

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.8438

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan jumlah

μ_T = 480 g, σ_T = 1.2·√12 = 4.157 g

Piawaikan

z = (484.2 − 480)/4.157 = 1.01

Kebarangkalian

P = Φ(1.01) = 0.8438

Jawapan

P = 0.8438

6.Taburan normal

Jawapan: x = 70.2 markah

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0.7

z daripada jadual

z ≈ 0.52

Kembali kepada unit asal

x = 65 + 0.52·10 = 70.2 markah

Jawapan

x = 70.2 markah

7.Selang keyakinan

Jawapan: had atas = 8.842 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nilai genting

df = 15, t = 2.947

Margin ralat

E = 2.947·4.4/√16 = 3.242

Selang

5.6 ± 3.242 → [2.358, 8.842]

Jawapan

had atas = 8.842 mmHg

8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 289

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (1.96·13/1.5)² = 288.5

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 289

Jawapan

n = 289

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: z = −3.218

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Ralat piawai bagi beza

SE = √(10²/50 + 7²/60) = √2.817 = 1.678

Statistik ujian

z = (137.5 − 142.9)/1.678 = −3.218

Jawapan

z = −3.218

|z| > 1.96, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: z = 0.8646

Perkadaran sampel

p̂₁ = 45/300 = 0.15

p̂₂ = 18/150 = 0.12

p̂ = 63/450 = 0.14

Ralat piawai di bawah H₀

SE = √(0.14·0.86·(1/300 + 1/150)) = 0.0347

Statistik ujian

z = (0.15 − 0.12)/0.0347 = 0.8646

Jawapan

z = 0.8646

|z| < 1.96, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9985

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 466/5 = 93.2

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 300

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2257

Pekali korelasi

r = 300/√(40·2257) = 0.9985

Jawapan

r = 0.9985

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: x = 6.952

Min

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 360/5 = 72

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 210

Garis regresi

b = 210/40 = 5.25

a = 72 − 5.25·6 = 40.5

ŷ = 40.5 + 5.25·x

Selesaikan untuk x

x = (77 − 40.5)/5.25 = 6.952

Jawapan

x = 6.952

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1