Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 11, 48, 56, 38, 27.

n = 5

s =

2.Statistik perihalanSukar

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 100 dan sisihan piawai 12. Cari skor-z z bagi skor 104.8.

μ = 100σ = 12x = 104.8

z =

3.KebarangkalianSederhana

Sebuah beg mengandungi 6 bebola merah dan 8 biru. Anda mengambil dua bebola tanpa memulangkan yang pertama. Berapakah kebarangkalian P kedua-duanya merah?

6 / 8

P =

4.KebarangkalianSukar

8 komponen diuji, dan setiap satu gagal dengan kebarangkalian 0.5, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P paling banyak satu gagal?

n = 8p = 0.5

P =

5.Taburan normalSederhana

berat beg bertaburan normal dengan min 250 g dan sisihan piawai 5 g. Berapakah pecahan yang terletak antara 242.25 dan 252.5 g? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 250σ = 5x₁ = 242.25x₂ = 252.5

P =

6.Taburan normalSukar

Diameter lubang D adalah normal dengan min 25.05 mm dan sisihan piawai 0.02 mm. Diameter aci d adalah tak bersandar dan normal dengan min 25 mm dan sisihan piawai 0.02 mm. Aci yang dipilih secara rawak muat apabila D − d > 0. Cari kebarangkalian P bahawa ia muat. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

lubang: μ = 25.05 mm, σ = 0.02 mmaci: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm

P =

7.Selang keyakinanSederhana

Satu sampel 8 item mempunyai min 110 dan sisihan piawai s = 18.5. Populasi lebih kurang normal. Cari had atas selang keyakinan 99% untuk min.

n = 8x̄ = 110s = 18.599%t(7) = 3.499

had atas =

8.Selang keyakinanSukar

Sisihan piawai populasi ialah 25. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 90% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 4?

σ = 25E = 490%

n =

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Satu sampel 36 pelajar mempunyai skor min 118.2 dan sisihan piawai sampel 12. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 118.2s = 12n = 36

t =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Satu sampel 81 ukuran mempunyai min 201.7. Sisihan piawai populasi ialah 10. Cari had atas U selang keyakinan 90% bagi min.

x̄ = 201.7σ = 10n = 8190%

U =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.

n = 5Σx = 30Σy = 97Σx² = 220Σy² = 2219Σxy = 698

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 3.

n = 5x = 3

ŷ =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 17.71

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 180/5 = 36

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−25)² + 12² + 20² + 2² + (−9)² = 1254

Sisihan piawai

s = √(1254/4) = 17.71

Jawapan

s = 17.71

2.Statistik perihalan

Jawapan: z = 0.4

Piawaikan

z = (104.8 − 100)/12 = 0.4

Jawapan

z = 0.4

3.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.1648

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pengambilan pertama dan kedua

P = 6/14 · 5/13 = 30/182 = 0.1648

Jawapan

P = 0.1648

4.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.03516

Sifar dan satu kegagalan

P(X = 0) = 0.5⁸ = 0.003906

P(X = 1) = 8·0.5·0.5⁷ = 0.03125

Tambahkannya

P = 0.003906 + 0.03125 = 0.03516

Jawapan

P = 0.03516

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.6309

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (242.25 − 250)/5 = −1.55

z₂ = (252.5 − 250)/5 = 0.5

Luas antara

P = Φ(0.5) − Φ(−1.55) = 0.6915 − 0.06057 = 0.6309

Jawapan

P = 0.6309

6.Taburan normal

Jawapan: P = 0.9616

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan beza

μ = 25.05 − 25 = 0.05 mm, σ = 0.02828 mm

Piawaikan

z = (0 − 0.05)/0.02828 = −1.77

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(−1.77) = 0.9616

Jawapan

P = 0.9616

7.Selang keyakinan

Jawapan: had atas = 132.9

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 7, t = 3.499

Margin ralat

E = 3.499·18.5/√8 = 22.89

Selang

110 ± 22.89 → [87.11, 132.9]

Jawapan

had atas = 132.9

8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 106

Selesaikan untuk n

n = (1.645·25/4)² = 105.7

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 106

Jawapan

n = 106

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = −0.9

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai

SE = 12/√36 = 12/6 = 2

Statistik ujian

t = (118.2 − 120)/2 = −0.9

Jawapan

t = −0.9

t_{0.025; df = 35} = 2.03

|t| < 2.03, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: U = 203.5

Margin ralat

E = 1.645·10/√81 = 1.828

Had selang

U = 201.7 + 1.828 = 203.5

Jawapan

U = 203.5

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9988

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Hasil tambah berpusat

S_xy = 698 − 30·97/5 = 116

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 2219 − 97²/5 = 337.2

Pekali korelasi

r = 116/√(40·337.2) = 0.9988

Jawapan

r = 0.9988

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: ŷ = 9.2

Min

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 73/5 = 14.6

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 72

Garis regresi

b = 72/40 = 1.8

a = 14.6 − 1.8·6 = 3.8

ŷ = 3.8 + 1.8·x

Ramalan

ŷ = 3.8 + 1.8·3 = 9.2

Jawapan

ŷ = 9.2

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1