Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min
x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang tersusun
Skor-z
z = (x − μ)/σ
Taburan normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap
P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Taburan normal

Skor-z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Kaedah

  1. Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
  4. Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

  1. Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
  2. Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
  3. Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1.96
Selang keyakinan
x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
  2. Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
  4. Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan
b = Sxy/Sxx
Pintasan
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Reja
e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana
253035404550

Cari sisihan piawai sampel s data: 53, 41, 36, 36, 23, 49.

n = 6
s =
2.Statistik perihalanSukar
z −2−1012

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 100 dan sisihan piawai 8. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 104.8?

μ = 100σ = 8x = 104.8
P =
3.KebarangkalianSederhana
P(sekurang-kurangnya satu enam) = ??1?2?3?4?5?6?7P(enam) = 1/6 pada setiap golekan

Satu dadu adil digolek 7 kali. Berapakah kebarangkalian P mendapat sekurang-kurangnya satu enam?

n = 7
P =
4.KebarangkalianSukar
xp(x)00.1510.120.2530.2540.25μ

X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 2X + 10. Cari sisihan piawai σY bagi Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.15, 0.1, 0.25, 0.25, 0.25Y = 2X + 10
σY =
5.Taburan normalSederhana
−3−2−10123zluas berlorek di sebelah kanan z = 0.2358

Seret z supaya luas berlorek di bawah lengkung normal piawai, di sebelah kanan z, ialah 0.2358. Cari z hingga dua tempat perpuluhan.

A = 0.2358
z =
6.Taburan normalSukar
μ = 32x = ?75%

masa penghantaran bertaburan normal dengan min 32 min dan sisihan piawai 6 min. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 75% daripadanya (persentil ke-75).

μ = 32σ = 6P = 75%
x = min
7.Selang keyakinanSederhana
x̄E₁ = 11.790%, n = 50x̄E₂ = ?90%, n = 200

Selang keyakinan 90% bagi suatu min, berdasarkan 50 cerapan dan σ yang diketahui, mempunyai margin ralat 11.7. Berapakah margin ralat E₂ jika kajian yang sama menggunakan 200 cerapan?

90%n₁ = 50E₁ = 11.7n₂ = 200
E₂ =
8.Selang keyakinanSukar
σ = 11, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 390%

Sisihan piawai populasi ialah 11. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 90% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 3?

σ = 11E = 390%
n =
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
−2.2282.228t = ?df = 10

Dua kaedah pengajaran dibandingkan. Kumpulan 1: 5 pelajar, skor min 40, sisihan piawai 7. Kumpulan 2: 7 pelajar, skor min 44.9, sisihan piawai 3.5. Andaikan varians populasi sama dan gunakan ujian t dua sampel terkumpul. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ₁ = μ₂, dengan mengambil beza sebagai x̄₁ − x̄₂ (kumpulan 1 tolak kumpulan 2).

n₁ = 5x̄₁ = 40s₁ = 7n₂ = 7x̄₂ = 44.9s₂ = 3.5
t =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
σ = 15, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 0.595%

Seberapa besarkah sampel mesti supaya selang keyakinan 95% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 0.5? Sisihan piawai ialah 15. Cari saiz sampel terkecil n.

σ = 15E = 0.595%
n =
11.Regresi linear & korelasiSederhana
xy33454776297311821394xy510406080100

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Cari pekali penentuan r² bagi garis kuasa dua terkecil.

n = 6
r² =
12.Regresi linear & korelasiSukar
xy129225327421524620xy246202530x = 3.5

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (3.5, 19) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.

n = 6(3.5, 19)
e =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 10.69

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 238/6 = 39.67

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 13.33² + 1.333² + (−3.667)² + (−3.667)² + (−16.67)² + 9.333² = 571.3

Sisihan piawai

s = √(571.3/5) = 10.69

Jawapan

s = 10.69
2.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.2743

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Piawaikan

z = 0.6

Jadual normal piawai

Φ(0.6) = 0.7257
P = 1 − 0.7257 = 0.2743

Jawapan

P = 0.2743
3.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.7209

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pelengkap

P(tiada enam) = (5/6)7 = 0.2791
P = 1 − 0.2791 = 0.7209

Jawapan

P = 0.7209
4.Kebarangkalian

Jawapan: σY = 2.704

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Serakan X

μ = 2.35, Var(X) = 1.827, σX = 1.352

Perubahan linear

σY = |2|·1.352 = 2.704

Jawapan

σY = 2.704

Min memang berubah: E(Y) = 2·2.35 + 10 = 14.7.

5.Taburan normal

Jawapan: z = 0.72

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = 1 − 0.2358 = 0.7642

Baca jadual-z secara terbalik

Cari 0.7642 di dalam jadual dan baca z.

z = 0.72

Jawapan

z = 0.72
6.Taburan normal

Jawapan: x = 36.05 min

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

z untuk persentil

Φ(z) = 0.75 → z = 0.6745

Kembali kepada x

x = 32 + 0.6745·6 = 36.05 min

Jawapan

x = 36.05 min
7.Selang keyakinan

Jawapan: E₂ = 5.85

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Nisbah margin

E₂/E₁ = (1.645/1.645)·√(50/200) = 0.5

Margin baharu

E₂ = 11.7·0.5 = 5.85

Jawapan

E₂ = 5.85
8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 37

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (1.645·11/3)² = 36.38

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 37

Jawapan

n = 37
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = −1.612

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Varians terkumpul

sp² = (4·7² + 6·3.5²)/10 = 26.95
sp = 5.191

Ralat piawai

SE = 5.191·√(1/5 + 1/7) = 3.04

Statistik ujian

t = (40 − 44.9)/3.04 = −1.612

Jawapan

t = −1.612

Dengan df = 10, nilai genting 5% dua sisi ialah 2.228; |t| lebih kecil, maka H₀ tidak ditolak.

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: n = 3458

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Selesaikan untuk n

n = (1.96·15/0.5)² = 3457

Bundarkan ke atas

n = 3458

Jawapan

n = 3458
11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r² = 0.9939

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 392/6 = 65.33

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 416
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2487

Pekali penentuan

r² = 416²/(70·2487) = 0.9939

Jawapan

r² = 0.9939

Kira-kira 99.39% variasi dalam y diterangkan oleh garis itu.

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: e = −5.333

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 146/6 = 24.33

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −27

Garis regresi

b = −27/17.5 = −1.543
a = 24.33 − (−1.543)·3.5 = 29.73
ŷ = 29.73 − 1.543·x

Nilai ramalan

ŷ = 29.73 + (−1.543)·3.5 = 24.33

Reja

e = 19 − 24.33 = −5.333

Jawapan

e = −5.333

Titik itu terletak di bawah garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1