Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 29, 45, 19, 54, 52, 46, 14.

n = 7

s =

2.Statistik perihalanSukar

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 100 dan sisihan piawai 20. Cari skor-z z bagi skor 76.

μ = 100σ = 20x = 76

z =

3.KebarangkalianSederhana

Dalam berapa cara N satu jawatankuasa 5 orang boleh dipilih daripada kumpulan 8? Susunan tidak penting.

n = 8k = 5

N =

4.KebarangkalianSukar

Satu permainan berharga €2 untuk dimain. Anda menang €6 dengan kebarangkalian 0.25 dan €40 dengan kebarangkalian 0.05; jika tidak anda tidak menang apa-apa. Pertaruhan tidak dikembalikan. Cari jangkaan keuntungan bersih E(G) setiap permainan.

pertaruhan = €2€6: p = 0.25€40: p = 0.05

E(G) = €

5.Taburan normalSederhana

X normal dengan min 12 min dan sisihan piawai 1.5 min; Y tak bersandar dan normal dengan min 20 min dan sisihan piawai 2 min. Cari kebarangkalian P bahawa X + Y melebihi 30.8 min. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μ_X = 12, σ_X = 1.5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 30.8 min

P =

6.Taburan normalSukar

Diameter lubang D adalah normal dengan min 25.03 mm dan sisihan piawai 0.015 mm. Diameter aci d adalah tak bersandar dan normal dengan min 25 mm dan sisihan piawai 0.02 mm. Aci yang dipilih secara rawak muat apabila D − d > 0. Cari kebarangkalian P bahawa ia muat. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

lubang: μ = 25.03 mm, σ = 0.015 mmaci: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm

P =

7.Selang keyakinanSederhana

Satu sampel 10 item mempunyai min 77.5 dan sisihan piawai s = 17.5. Populasi lebih kurang normal. Cari had bawah selang keyakinan 95% untuk min.

n = 10x̄ = 77.5s = 17.595%t(9) = 2.262

had bawah =

8.Selang keyakinanSukar

Sisihan piawai populasi ialah 36. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 99% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 0.5?

σ = 36E = 0.599%

n =

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Satu sampel 16 pelajar mempunyai skor min 109 dan sisihan piawai sampel 20. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 109s = 20n = 16

t =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Satu sampel 81 ukuran mempunyai min 119.3. Sisihan piawai populasi ialah 20. Cari had atas U selang keyakinan 99% bagi min.

x̄ = 119.3σ = 20n = 8199%

U =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Cari pekali penentuan r² bagi garis kuasa dua terkecil.

n = 5

r² =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 16.5.

n = 5x = 16.5

ŷ =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 16.21

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 259/7 = 37

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−8)² + 8² + (−18)² + 17² + 15² + 9² + (−23)² = 1576

Sisihan piawai

s = √(1576/6) = 16.21

Jawapan

s = 16.21

2.Statistik perihalan

Jawapan: z = −1.2

Piawaikan

z = (76 − 100)/20 = −1.2

Jawapan

z = −1.2

3.Kebarangkalian

Jawapan: N = 56

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Gabungan

C(8, 5) = (8·7·6·5·4)/(5·4·3·2·1) = 56

Jawapan

N = 56

4.Kebarangkalian

Jawapan: E(G) = 1.5 €

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Hasil bersih

G: 4 (p = 0.25), 38 (p = 0.05), −2 (p = 0.7)

Nilai jangkaan

E(G) = 4·0.25 + 38·0.05 − 2·0.7 = 1.5 €

Jawapan

E(G) = 1.5 €

Nilai positif bermaksud anda memperoleh wang secara purata.

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.6844

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan hasil tambah

μ = 32 min, σ = √(1.5² + 2²) = 2.5 min

Piawaikan

z = (30.8 − 32)/2.5 = −0.48

Ekor atas

P = 1 − Φ(−0.48) = 1 − 0.3156 = 0.6844

Jawapan

P = 0.6844

6.Taburan normal

Jawapan: P = 0.8849

Taburan beza

μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.025 mm

Piawaikan

z = (0 − 0.03)/0.025 = −1.2

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(−1.2) = 0.8849

Jawapan

P = 0.8849

7.Selang keyakinan

Jawapan: had bawah = 64.98

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 9, t = 2.262

Margin ralat

E = 2.262·17.5/√10 = 12.52

Selang

77.5 ± 12.52 → [64.98, 90.02]

Jawapan

had bawah = 64.98

8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 34400

Selesaikan untuk n

n = (2.576·36/0.5)² = 34400

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 34400

Jawapan

n = 34400

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = −2.2

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai

SE = 20/√16 = 20/4 = 5

Statistik ujian

t = (109 − 120)/5 = −2.2

Jawapan

t = −2.2

t_{0.025; df = 15} = 2.131

|t| > 2.131, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: U = 125

Margin ralat

E = 2.576·20/√81 = 5.724

Had selang

U = 119.3 + 5.724 = 125

Jawapan

U = 125

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r² = 0.9539

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 95/5 = 19

ȳ = 434/5 = 86.8

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 216

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1223

Pekali penentuan

r² = 216²/(40·1223) = 0.9539

Jawapan

r² = 0.9539

Kira-kira 95.39% variasi dalam y diterangkan oleh garis itu.

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: ŷ = 62.95

Min

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 434/5 = 86.8

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 477

Garis regresi

b = 477/90 = 5.3

a = 86.8 − 5.3·21 = −24.5

ŷ = −24.5 + 5.3·x

Ramalan

ŷ = −24.5 + 5.3·16.5 = 62.95

Jawapan

ŷ = 62.95

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1