Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min
x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang tersusun
Skor-z
z = (x − μ)/σ
Taburan normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap
P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Taburan normal

Skor-z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Kaedah

  1. Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
  4. Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

  1. Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
  2. Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
  3. Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1.96
Selang keyakinan
x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
  2. Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
  4. Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan
b = Sxy/Sxx
Pintasan
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Reja
e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana
2025303540455055

Cari sisihan piawai sampel s data: 53, 52, 58, 37, 36, 20, 54.

n = 7
s =
2.Statistik perihalanSukar
z −2−1012

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 500 dan sisihan piawai 60. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 536?

μ = 500σ = 60x = 536
P =
3.KebarangkalianSederhana
xp(x)100.15200.3300.25400.3μ = 27

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.15, 0.3, 0.25, 0.3
σ =
4.KebarangkalianSukar
n = 9, p = 0.6: P(X = 2) = ?k0123456789

Satu ujian mempunyai 9 soalan aneka pilihan. Seorang pelajar yang meneka mendapat setiap satu betul dengan kebarangkalian 0.6, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P tepat 2 jawapan betul?

n = 9p = 0.6k = 2
P =
5.Taburan normalSederhana
−3−2−10123zluas berlorek antara −z dan z = 0.7813

Seret z supaya luas berlorek antara −z dan z di bawah lengkung normal piawai ialah 0.7813. Cari z hingga dua tempat perpuluhan.

A = 0.7813
z =
6.Taburan normalSukar
380420460500540580620hatas 5%

hayat bateri bertaburan normal dengan min 500 h dan sisihan piawai 40 h. Seret titik pemotong supaya 5% teratas yang berlorek berada di sebelah kanannya. Cari titik pemotong x.

μ = 500 hσ = 40 h5%
x = h
7.Selang keyakinanSederhana
n = 15, sd​ = 6.90LUd̄ = 2.7E = ?99%

Tekanan darah 15 pesakit diukur sebelum dan selepas rawatan. Beza d = sebelum − selepas (mmHg) mempunyai min 2.7 dan sisihan piawai 6.9. Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 99% untuk min beza.

n = 15d̄ = 2.7sd = 6.999%t(14) = 2.977
E = mmHg
8.Selang keyakinanSukar
σ = 10, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 0.595%

Sisihan piawai populasi ialah 10. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 95% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 0.5?

σ = 10E = 0.595%
n =
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
−2.0642.064t = ?df = 24

Dua kaedah pengajaran dibandingkan. Kumpulan 1: 12 pelajar, skor min 62, sisihan piawai 2. Kumpulan 2: 14 pelajar, skor min 64.5, sisihan piawai 2.5. Andaikan varians populasi sama dan gunakan ujian t dua sampel terkumpul. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ₁ = μ₂, dengan mengambil beza sebagai x̄₁ − x̄₂ (kumpulan 1 tolak kumpulan 2).

n₁ = 12x̄₁ = 62s₁ = 2n₂ = 14x̄₂ = 64.5s₂ = 2.5
t =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 5α = 0.01βσ = 27, kuasa 80%, n = ?

Ujian z satu sisi pada α = 0.01 mesti mengesan anjakan min sebanyak 5 unit dengan kuasa 80%. Sisihan piawai ialah 27. Cari saiz sampel minimum n.

α = 0.01kuasa = 80%δ = 5σ = 27zα = 2.326zβ = 0.842
n =
11.Regresi linear & korelasiSederhana
xy2484646748871094xy5106080

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.

n = 5Σx = 30Σy = 367Σx² = 220Σy² = 28281Σxy = 2432
r =
12.Regresi linear & korelasiSukar
xy1784199021982312025130xy2025100120ŷ = 86

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x yang manakah garis meramalkan ŷ = 86?

n = 5ŷ = 86
x =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 13.72

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 310/7 = 44.29

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 8.714² + 7.714² + 13.71² + (−7.286)² + (−8.286)² + (−24.29)² + 9.714² = 1129

Sisihan piawai

s = √(1129/6) = 13.72

Jawapan

s = 13.72
2.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.7257

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Piawaikan

z = 0.6

Jadual normal piawai

Φ(0.6) = 0.7257
P = 0.7257

Jawapan

P = 0.7257
3.Kebarangkalian

Jawapan: σ = 10.54

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 10·0.15 + 20·0.3 + 30·0.25 + 40·0.3 = 27

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 100·0.15 + 400·0.3 + 900·0.25 + 1600·0.3 = 840

Varians

Var(X) = 840 − 27² = 111
σ = √111 = 10.54

Jawapan

σ = 10.54
4.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.02123

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Formula binomial

P(X = 2) = 36·0.62·0.47 = 36·0.36·0.001638 = 0.02123

Jawapan

P = 0.02123
5.Taburan normal

Jawapan: z = 1.23

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = (1 + 0.7813)/2 = 0.8907

Baca jadual-z secara terbalik

Cari 0.8907 di dalam jadual dan baca z.

z = 1.23

Jawapan

z = 1.23
6.Taburan normal

Jawapan: x = 566 h

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0.95

z daripada jadual

z ≈ 1.64

Kembali kepada unit asal

x = 500 + 1.64·40 = 566 h

Jawapan

x = 566 h
7.Selang keyakinan

Jawapan: E = 5.304 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nilai genting

df = 14, t = 2.977

Margin ralat

E = 2.977·6.9/√15 = 5.304

Jawapan

E = 5.304 mmHg
8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 1537

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (1.96·10/0.5)² = 1537

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 1537

Jawapan

n = 1537
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = −2.782

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Varians terkumpul

sp² = (11·2² + 13·2.5²)/24 = 5.219
sp = 2.284

Ralat piawai

SE = 2.284·√(1/12 + 1/14) = 0.8987

Statistik ujian

t = (62 − 64.5)/0.8987 = −2.782

Jawapan

t = −2.782

Dengan df = 24, nilai genting 5% dua sisi ialah 2.064; |t| lebih besar, maka H₀ ditolak.

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: n = 293

Saiz sampel untuk ujian: untuk mengesan anjakan benar δ dengan kuasa 1 − β dalam ujian z satu sisi pada aras α, ralat piawai mesti memenuhi δ = (z_α + z_β)·σ/√n, maka n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = ((2.326 + 0.842)·27/5)² = 292.7

Bundarkan ke atas

n = 293

Jawapan

n = 293
11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9923

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Hasil tambah berpusat

Sxy = 2432 − 30·367/5 = 230
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 28281 − 367²/5 = 1343

Pekali korelasi

r = 230/√(40·1343) = 0.9923

Jawapan

r = 0.9923
12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: x = 17.98

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 522/5 = 104.4

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 244

Garis regresi

b = 244/40 = 6.1
a = 104.4 − 6.1·21 = −23.7
ŷ = −23.7 + 6.1·x

Selesaikan untuk x

x = (86 − (−23.7))/6.1 = 17.98

Jawapan

x = 17.98

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1