Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min
x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang tersusun
Skor-z
z = (x − μ)/σ
Taburan normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap
P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Taburan normal

Skor-z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Kaedah

  1. Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
  4. Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

  1. Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
  2. Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
  3. Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1.96
Selang keyakinan
x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
  2. Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
  4. Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan
b = Sxy/Sxx
Pintasan
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Reja
e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana
25303540455055

Cari sisihan piawai sampel s data: 32, 22, 24, 34, 59, 33.

n = 6
s =
2.Statistik perihalanSukar
z −2−1012

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 60 dan sisihan piawai 5. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 67.5?

μ = 60σ = 5x = 67.5
P =
3.KebarangkalianSederhana
merah: 3biru: 3

Sebuah beg mengandungi 3 bebola merah dan 3 biru. Anda mengambil dua bebola tanpa memulangkan yang pertama. Berapakah kebarangkalian P kedua-duanya merah?

3 / 3
P =
4.KebarangkalianSukar
xp(x)00.220.340.260.3μ

X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 5X + 4. Cari sisihan piawai σY bagi Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.2, 0.3, 0.2, 0.3Y = 5X + 4
σY =
5.Taburan normalSederhana
32.337.1P = ?

masa penghantaran bertaburan normal dengan min 32 min dan sisihan piawai 6 min. Berapakah pecahan yang terletak antara 32.3 dan 37.1 min? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 32σ = 6x1 = 32.3x2 = 37.1
P =
6.Taburan normalSukar
μ = 32x = ?95%

masa penghantaran bertaburan normal dengan min 32 min dan sisihan piawai 6 min. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 95% daripadanya (persentil ke-95).

μ = 32σ = 6P = 95%
x = min
7.Selang keyakinanSederhana
n = 16, s = 10L = ?Ux̄ = 20.5E90%

Satu sampel 16 item mempunyai min 20.5 dan sisihan piawai s = 10. Populasi lebih kurang normal. Cari had bawah selang keyakinan 90% untuk min.

n = 16x̄ = 20.5s = 1090%t(15) = 1.753
had bawah =
8.Selang keyakinanSukar
μ₁ − μ₂, t(10) = 2.2280L = ?Ux̄₁ − x̄₂E95%

Dua baja diuji. Kumpulan petak 1: 5 petak, min hasil 100 kg, sisihan piawai 3.5 kg. Kumpulan petak 2: 7 petak, min 108.5 kg, sisihan piawai 9 kg. Andaikan varians sama (t terkumpul, df = n₁ + n₂ − 2). Cari had bawah selang keyakinan 95% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 5x̄₁ = 100s₁ = 3.5n₂ = 7x̄₂ = 108.5s₂ = 995%t(10) = 2.228
had bawah = kg
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
t −1.99801.998

Satu sampel 64 pelajar mempunyai skor min 201.4 dan sisihan piawai sampel 4. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 201.4s = 4n = 64
t =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
μ₀x̄c

Ujian z satu sisi bagi H₀: μ = 80 terhadap H₁: μ < 80 dijalankan pada α = 0.10 dengan sampel 25; sisihan piawai diketahui ialah 10. Pada hakikatnya min ialah 76.4. Cari kebarangkalian ralat Jenis II β dalam peratus.

μ₀ = 80μ = 76.4σ = 10n = 25α = 0.10
β = %
11.Regresi linear & korelasiSederhana
xy188721102241092713630148xy202530100120140

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Cari pekali korelasi Pearson r.

n = 5
r =
12.Regresi linear & korelasiSukar
xy128225324419519xy242025ŷ = 27

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x yang manakah garis meramalkan ŷ = 27?

n = 5ŷ = 27
x =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 13.22

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 204/6 = 34

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−2)² + (−12)² + (−10)² + 0² + 25² + (−1)² = 874

Sisihan piawai

s = √(874/5) = 13.22

Jawapan

s = 13.22
2.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.06681

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Piawaikan

z = 1.5

Jadual normal piawai

Φ(1.5) = 0.9332
P = 1 − 0.9332 = 0.06681

Jawapan

P = 0.06681
3.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.2

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pengambilan pertama dan kedua

P = 3/6 · 2/5 = 6/30 = 0.2

Jawapan

P = 0.2
4.Kebarangkalian

Jawapan: σY = 11.14

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Serakan X

μ = 3.2, Var(X) = 4.96, σX = 2.227

Perubahan linear

σY = |5|·2.227 = 11.14

Jawapan

σY = 11.14

Min memang berubah: E(Y) = 5·3.2 + 4 = 20.

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.2824

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (32.3 − 32)/6 = 0.05
z₂ = (37.1 − 32)/6 = 0.85

Luas antara

P = Φ(0.85) − Φ(0.05) = 0.8023 − 0.5199 = 0.2824

Jawapan

P = 0.2824
6.Taburan normal

Jawapan: x = 41.87 min

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

z untuk persentil

Φ(z) = 0.95 → z = 1.645

Kembali kepada x

x = 32 + 1.645·6 = 41.87 min

Jawapan

x = 41.87 min
7.Selang keyakinan

Jawapan: had bawah = 16.12

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 15, t = 1.753

Margin ralat

E = 1.753·10/√16 = 4.382

Selang

20.5 ± 4.382 → [16.12, 24.88]

Jawapan

had bawah = 16.12
8.Selang keyakinan

Jawapan: had bawah = −18.04 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Sisihan piawai terkumpul

sp² = (4·3.5² + 6·9²)/10 = 53.5
sp = 7.314

Margin ralat

E = 2.228·7.314·√(1/5 + 1/7) = 9.542

Selang

−8.5 ± 9.542 → [−18.04, 1.042]

Jawapan

had bawah = −18.04 kg
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = 2.8

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai

SE = 4/√64 = 4/8 = 0.5

Statistik ujian

t = (201.4 − 200)/0.5 = 2.8

Jawapan

t = 2.8
t0.025; df = 63 = 1.998

|t| > 1.998, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: β = 30.22 %

Kuasa ujian: kuasa = 1 − β ialah kebarangkalian menolak H₀ apabila ia salah. Cari nilai pemotongan x̄c daripada μ₀ dan z_α, kemudian hitung kebarangkalian jatuh melepasi x̄c menggunakan min sebenar: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Min sampel genting

SE = 10/√25 = 2
x̄c = 80 − 1.282·2 = 77.44

z di bawah min sebenar

z = (77.44 − 76.4)/2 = 0.518

Ralat Jenis II

kuasa = P(Z < 0.518) = 69.78%
β = 100% − 69.78% = 30.22%

Jawapan

β = 30.22%
11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9848

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 120/5 = 24
ȳ = 582/5 = 116.4

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 468
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2509

Pekali korelasi

r = 468/√(90·2509) = 0.9848

Jawapan

r = 0.9848
12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: x = 1.333

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 115/5 = 23

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −24

Garis regresi

b = −24/10 = −2.4
a = 23 − (−2.4)·3 = 30.2
ŷ = 30.2 − 2.4·x

Selesaikan untuk x

x = (27 − 30.2)/(−2.4) = 1.333

Jawapan

x = 1.333

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1