Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 60, 35, 14, 42, 41, 40, 24.

n = 7

s =

2.Statistik perihalanSukar

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 100 dan sisihan piawai 15. Cari skor-z z bagi skor 82.

μ = 100σ = 15x = 82

z =

3.KebarangkalianSederhana

Dalam berapa cara N satu jawatankuasa 3 orang boleh dipilih daripada kumpulan 12? Susunan tidak penting.

n = 12k = 3

N =

4.KebarangkalianSukar

Satu permainan berharga €3 untuk dimain. Anda menang €15 dengan kebarangkalian 0.1 dan €30 dengan kebarangkalian 0.02; jika tidak anda tidak menang apa-apa. Pertaruhan tidak dikembalikan. Cari jangkaan keuntungan bersih E(G) setiap permainan.

pertaruhan = €3€15: p = 0.1€30: p = 0.02

E(G) = €

5.Taburan normalSederhana

Seret z supaya luas berlorek antara −z dan z di bawah lengkung normal piawai ialah 0.5705. Cari z hingga dua tempat perpuluhan.

A = 0.5705

z =

6.Taburan normalSukar

Diameter lubang D adalah normal dengan min 25.03 mm dan sisihan piawai 0.01 mm. Diameter aci d adalah tak bersandar dan normal dengan min 25 mm dan sisihan piawai 0.015 mm. Aci yang dipilih secara rawak muat apabila D − d > 0. Cari kebarangkalian P bahawa ia muat. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

lubang: μ = 25.03 mm, σ = 0.01 mmaci: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm

P =

7.Selang keyakinanSederhana

Hayat bateri dua model telefon dibandingkan. Model 1: 40 telefon, min 82.5 j, sisihan piawai diketahui 3 j. Model 2: 40 telefon, min 81.5 j, sisihan piawai diketahui 16 j. Cari had atas selang keyakinan 95% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 40x̄₁ = 82.5 hσ₁ = 3 hn₂ = 40x̄₂ = 81.5 hσ₂ = 16 h95%

had atas = h

8.Selang keyakinanSukar

Sisihan piawai populasi ialah 33. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 99% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 3?

σ = 33E = 399%

n =

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Dua kaedah pengajaran dibandingkan. Kumpulan 1: 10 pelajar, skor min 33, sisihan piawai 8. Kumpulan 2: 7 pelajar, skor min 24.9, sisihan piawai 2. Andaikan varians populasi sama dan gunakan ujian t dua sampel terkumpul. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ₁ = μ₂, dengan mengambil beza sebagai x̄₁ − x̄₂ (kumpulan 1 tolak kumpulan 2).

n₁ = 10x̄₁ = 33s₁ = 8n₂ = 7x̄₂ = 24.9s₂ = 2

t =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Dalam satu percubaan, 25 daripada 100 pesakit yang menerima rawatan A sembuh, dan 93 daripada 250 pesakit yang menerima rawatan B. Dengan menggunakan perkadaran terkumpul, cari statistik ujian z bagi H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 25n₁ = 100x₂ = 93n₂ = 250

z =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Cari pekali korelasi Pearson r.

n = 5

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x yang manakah garis meramalkan ŷ = 20?

n = 5ŷ = 20

x =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 14.6

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 256/7 = 36.57

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 23.43² + (−1.571)² + (−22.57)² + 5.429² + 4.429² + 3.429² + (−12.57)² = 1280

Sisihan piawai

s = √(1280/6) = 14.6

Jawapan

s = 14.6

2.Statistik perihalan

Jawapan: z = −1.2

Piawaikan

z = (82 − 100)/15 = −1.2

Jawapan

z = −1.2

3.Kebarangkalian

Jawapan: N = 220

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Gabungan

C(12, 3) = (12·11·10)/(3·2·1) = 220

Jawapan

N = 220

4.Kebarangkalian

Jawapan: E(G) = −0.9 €

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Hasil bersih

G: 12 (p = 0.1), 27 (p = 0.02), −3 (p = 0.88)

Nilai jangkaan

E(G) = 12·0.1 + 27·0.02 − 3·0.88 = −0.9 €

Jawapan

E(G) = −0.9 €

Nilai negatif bermaksud anda kehilangan wang secara purata.

5.Taburan normal

Jawapan: z = 0.79

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = (1 + 0.5705)/2 = 0.7852

Baca jadual-z secara terbalik

Cari 0.7852 di dalam jadual dan baca z.

z = 0.79

Jawapan

z = 0.79

6.Taburan normal

Jawapan: P = 0.9515

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan beza

μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.01803 mm

Piawaikan

z = (0 − 0.03)/0.01803 = −1.66

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(−1.66) = 0.9515

Jawapan

P = 0.9515

7.Selang keyakinan

Jawapan: had atas = 6.045 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Anggaran titik

x̄₁ − x̄₂ = 82.5 − 81.5 = 1

Ralat piawai

SE = √(3²/40 + 16²/40) = 2.574

Margin ralat

E = 1.96·2.574 = 5.045

Selang

1 ± 5.045 → [−4.045, 6.045]

Jawapan

had atas = 6.045 h

Selang itu mengandungi 0, maka data tidak menunjukkan beza yang signifikan.

8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 803

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (2.576·33/3)² = 802.9

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 803

Jawapan

n = 803

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = 2.599

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Varians terkumpul

s_p² = (9·8² + 6·2²)/15 = 40

s_p = 6.325

Ralat piawai

SE = 6.325·√(1/10 + 1/7) = 3.117

Statistik ujian

t = (33 − 24.9)/3.117 = 2.599

Jawapan

t = 2.599

Dengan df = 15, nilai genting 5% dua sisi ialah 2.131; |t| lebih besar, maka H₀ ditolak.

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: z = −2.181

Perkadaran sampel

p̂₁ = 25/100 = 0.25

p̂₂ = 93/250 = 0.372

p̂ = 118/350 = 0.3371

Ralat piawai di bawah H₀

SE = √(0.3371·0.6629·(1/100 + 1/250)) = 0.05593

Statistik ujian

z = (0.25 − 0.372)/0.05593 = −2.181

Jawapan

z = −2.181

|z| > 1.96, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9922

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 72/5 = 14.4

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 84

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 179.2

Pekali korelasi

r = 84/√(40·179.2) = 0.9922

Jawapan

r = 0.9922

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: x = 2.417

Min

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 93/5 = 18.6

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −24

Garis regresi

b = −24/10 = −2.4

a = 18.6 − (−2.4)·3 = 25.8

ŷ = 25.8 − 2.4·x

Selesaikan untuk x

x = (20 − 25.8)/(−2.4) = 2.417

Jawapan

x = 2.417

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1