Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 43, 50, 11, 17, 58.

n = 5

s =

2.Statistik perihalanSukar

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 70 dan sisihan piawai 20. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 95?

μ = 70σ = 20x = 95

P =

3.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.05, 0.1, 0.15, 0.35, 0.35

σ =

4.KebarangkalianSukar

X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 10X + 10. Cari sisihan piawai σ_Y bagi Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.2, 0.3, 0.1, 0.2, 0.2Y = 10X + 10

σ_Y =

5.Taburan normalSederhana

X normal dengan min 120 mm dan sisihan piawai 0.3 mm; Y tak bersandar dan normal dengan min 80 mm dan sisihan piawai 0.4 mm. Cari kebarangkalian P bahawa X + Y melebihi 200.5 mm. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μ_X = 120, σ_X = 0.3μ_Y = 80, σ_Y = 0.4X + Y > 200.5 mm

P =

6.Taburan normalSukar

skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 65 markah dan sisihan piawai 10 markah. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 97.5% daripadanya (persentil ke-97.5).

μ = 65σ = 10P = 97.5%

x = markah

7.Selang keyakinanSederhana

Selang keyakinan 99% bagi suatu min, berdasarkan 64 cerapan dan σ yang diketahui, mempunyai margin ralat 9.6. Berapakah margin ralat E₂ bagi selang 90% berdasarkan 576 cerapan?

99%n₁ = 64E₁ = 9.690%n₂ = 576

E₂ =

8.Selang keyakinanSukar

Satu kajian rintis mencadangkan bahawa kira-kira 0.6 produk adalah cacat. Berapa banyak produk n yang mesti diperiksa supaya selang keyakinan 99% bagi perkadaran mempunyai margin ralat selebar-lebarnya 0.04?

p ≈ 0.6E = 0.0499%

n =

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Satu sampel 16 pelajar mempunyai skor min 206 dan sisihan piawai sampel 10. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 206s = 10n = 16

t =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Seberapa besarkah sampel mesti supaya selang keyakinan 95% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 0.5? Sisihan piawai ialah 8. Cari saiz sampel terkecil n.

σ = 8E = 0.595%

n =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Cari pekali penentuan r² bagi garis kuasa dua terkecil.

n = 5

r² =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x yang manakah garis meramalkan ŷ = 71?

n = 5ŷ = 71

x =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 20.71

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 179/5 = 35.8

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 7.2² + 14.2² + (−24.8)² + (−18.8)² + 22.2² = 1715

Sisihan piawai

s = √(1715/4) = 20.71

Jawapan

s = 20.71

2.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.1056

Piawaikan

z = 1.25

Jadual normal piawai

Φ(1.25) = 0.8944

P = 1 − 0.8944 = 0.1056

Jawapan

P = 0.1056

3.Kebarangkalian

Jawapan: σ = 1.152

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 0·0.05 + 1·0.1 + 2·0.15 + 3·0.35 + 4·0.35 = 2.85

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 0·0.05 + 1·0.1 + 4·0.15 + 9·0.35 + 16·0.35 = 9.45

Varians

Var(X) = 9.45 − 2.85² = 1.328

σ = √1.328 = 1.152

Jawapan

σ = 1.152

4.Kebarangkalian

Jawapan: σ_Y = 14.46

Serakan X

μ = 1.9, Var(X) = 2.09, σ_X = 1.446

Perubahan linear

σ_Y = |10|·1.446 = 14.46

Jawapan

σ_Y = 14.46

Min memang berubah: E(Y) = 10·1.9 + 10 = 29.

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.1587

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan hasil tambah

μ = 200 mm, σ = √(0.3² + 0.4²) = 0.5 mm

Piawaikan

z = (200.5 − 200)/0.5 = 1

Ekor atas

P = 1 − Φ(1) = 1 − 0.8413 = 0.1587

Jawapan

P = 0.1587

6.Taburan normal

Jawapan: x = 84.6 markah

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

z untuk persentil

Φ(z) = 0.975 → z = 1.96

Kembali kepada x

x = 65 + 1.96·10 = 84.6 markah

Jawapan

x = 84.6 markah

7.Selang keyakinan

Jawapan: E₂ = 2.043

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Nisbah margin

E₂/E₁ = (1.645/2.576)·√(64/576) = 0.2129

Margin baharu

E₂ = 9.6·0.2129 = 2.043

Jawapan

E₂ = 2.043

8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 996

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

Selesaikan untuk n

n = 2.576²·0.6·0.4/0.04² = 995.4

Bundarkan ke atas

n = 996

Jawapan

n = 996

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = 2.4

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai

SE = 10/√16 = 10/4 = 2.5

Statistik ujian

t = (206 − 200)/2.5 = 2.4

Jawapan

t = 2.4

t_{0.025; df = 15} = 2.131

|t| > 2.131, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: n = 984

Selesaikan untuk n

n = (1.96·8/0.5)² = 983.4

Bundarkan ke atas

n = 984

Jawapan

n = 984

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r² = 0.9784

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 313/5 = 62.6

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 236

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1423

Pekali penentuan

r² = 236²/(40·1423) = 0.9784

Jawapan

r² = 0.9784

Kira-kira 97.84% variasi dalam y diterangkan oleh garis itu.

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: x = 5.525

Min

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 339/5 = 67.8

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 61

Garis regresi

b = 61/10 = 6.1

a = 67.8 − 6.1·5 = 37.3

ŷ = 37.3 + 6.1·x

Selesaikan untuk x

x = (71 − 37.3)/6.1 = 5.525

Jawapan

x = 5.525

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1