Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
2Soalan latihan
1.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 36, 24, 27, 33, 57, 55, 22.
n = 7
s =
2.Statistik perihalanSukar
Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 50 dan sisihan piawai 8. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 42?
μ = 50σ = 8x = 42
P =
3.KebarangkalianSederhana
Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.2, 0.2, 0.05, 0.35, 0.2
σ =
4.KebarangkalianSukar
Satu permainan berharga €10 untuk dimain. Anda menang €40 dengan kebarangkalian 0.2 dan €500 dengan kebarangkalian 0.02; jika tidak anda tidak menang apa-apa. Pertaruhan tidak dikembalikan. Cari jangkaan keuntungan bersih E(G) setiap permainan.
pertaruhan = €10€40: p = 0.2€500: p = 0.02
E(G) = €
5.Taburan normalSederhana
Seret z supaya luas berlorek antara −z dan z di bawah lengkung normal piawai ialah 0.8969. Cari z hingga dua tempat perpuluhan.
A = 0.8969
z =
6.Taburan normalSukar
berat beg bertaburan normal dengan min 250 g dan sisihan piawai 5 g. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 75% daripadanya (persentil ke-75).
μ = 250σ = 5P = 75%
x = g
7.Selang keyakinanSederhana
Selang keyakinan 99% bagi suatu min, berdasarkan 25 cerapan dan σ yang diketahui, mempunyai margin ralat 12. Berapakah margin ralat E₂ bagi selang 90% berdasarkan 225 cerapan?
99%n₁ = 25E₁ = 1290%n₂ = 225
E₂ =
8.Selang keyakinanSukar
Diameter 20 aci yang dimesin mempunyai sisihan piawai sampel 12 µm. Dengan mengandaikan diameter bertaburan normal, cari had bawah σ selang keyakinan 95% bagi sisihan piawai populasi. Dengan df = 19, 2.5% taburan χ² terletak di bawah 8.907 dan 2.5% terletak di atas 32.852.
n = 20s = 12 µmχ² = 8.907, 32.852
σ = µm
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
Dua talian pengeluaran membuat bahagian yang sama. Talian 1: sampel 60 bahagian mempunyai min panjang 137 mm, dan sisihan piawai diketahui talian itu ialah 5 mm. Talian 2: sampel 40 bahagian mempunyai min 146.3 mm, sisihan piawai diketahui 18 mm. Cari statistik ujian z bagi H₀: μ₁ = μ₂, dengan mengambil beza sebagai x̄₁ − x̄₂ (talian 1 tolak talian 2).
n₁ = 60x̄₁ = 137 mmσ₁ = 5 mmn₂ = 40x̄₂ = 146.3 mmσ₂ = 18 mm
z =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Satu sampel 100 ukuran mempunyai min 201.4. Sisihan piawai populasi ialah 20. Cari had atas U selang keyakinan 99% bagi min.
x̄ = 201.4σ = 20n = 10099%
U =
11.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.
n = 6Σx = 21Σy = 100Σx² = 91Σy² = 1754Σxy = 312
r =
12.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (5, 20) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.
n = 6(5, 20)
e =
3Larutan
1.Statistik perihalan
Jawapan: s = 14.33
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 254/7 = 36.29
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = (−0.2857)² + (−12.29)² + (−9.286)² + (−3.286)² + 20.71² + 18.71² + (−14.29)² = 1231
Sisihan piawai
s = √(1231/6) = 14.33
Jawapan
s = 14.33
2.Statistik perihalan
Jawapan: P = 0.8413
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = −1
Jadual normal piawai
Φ(−1) = 0.1587
P = 1 − 0.1587 = 0.8413
Jawapan
P = 0.8413
3.Kebarangkalian
Jawapan: σ = 1.459
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Min
μ = 0·0.2 + 1·0.2 + 2·0.05 + 3·0.35 + 4·0.2 = 2.15
Min bagi kuasa dua
E(X²) = 0·0.2 + 1·0.2 + 4·0.05 + 9·0.35 + 16·0.2 = 6.75
Varians
Var(X) = 6.75 − 2.15² = 2.128
σ = √2.128 = 1.459
Jawapan
σ = 1.459
4.Kebarangkalian
Jawapan: E(G) = 8 €
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Hasil bersih
G: 30 (p = 0.2), 490 (p = 0.02), −10 (p = 0.78)
Nilai jangkaan
E(G) = 30·0.2 + 490·0.02 − 10·0.78 = 8 €
Jawapan
E(G) = 8 €
Nilai positif bermaksud anda memperoleh wang secara purata.
5.Taburan normal
Jawapan: z = 1.63
Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri z
Φ(z) = (1 + 0.8969)/2 = 0.9484
Baca jadual-z secara terbalik
Cari 0.9484 di dalam jadual dan baca z.
z = 1.63
Jawapan
z = 1.63
6.Taburan normal
Jawapan: x = 253.4 g
Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.
z untuk persentil
Φ(z) = 0.75 → z = 0.6745
Kembali kepada x
x = 250 + 0.6745·5 = 253.37 g
Jawapan
x = 253.37 g
7.Selang keyakinan
Jawapan: E₂ = 2.554
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Nisbah margin
E₂/E₁ = (1.645/2.576)·√(25/225) = 0.2129
Margin baharu
E₂ = 12·0.2129 = 2.554
Jawapan
E₂ = 2.554
8.Selang keyakinan
Jawapan: σ = 9.126 µm
Selang bagi suatu varians: (n − 1)s²/σ² mempunyai taburan χ² dengan darjah kebebasan n − 1. Selang 95% bagi σ² bermula daripada (n − 1)s² dibahagi nilai χ² atas (2.5% di atasnya) hingga (n − 1)s² dibahagi nilai χ² bawah (2.5% di bawahnya); selang bagi σ ialah punca kuasa dua kedua-dua had. Ia tidak simetri di sekitar s.
Hasil tambah kuasa dua
(n − 1)s² = 19·12² = 2736
Had bagi σ²
2736/32.852 = 83.28
2736/8.907 = 307.2
Had bagi σ
σ = √83.28 = 9.126 µm
Jawapan
σ = 9.126 µm
Selang 95% bagi σ: [9.126, 17.53] µm.
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: z = −3.187
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Ralat piawai bagi beza
SE = √(5²/60 + 18²/40) = √8.517 = 2.918
Statistik ujian
z = (137 − 146.3)/2.918 = −3.187
Jawapan
z = −3.187
|z| > 1.96, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).
10.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: U = 206.6
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Margin ralat
E = 2.576·20/√100 = 5.152
Had selang
U = 201.4 + 5.152 = 206.6
Jawapan
U = 206.6
11.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r = −0.972
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Hasil tambah berpusat
Sxy = 312 − 21·100/6 = −38
Sxx = 91 − 21²/6 = 17.5
Syy = 1754 − 100²/6 = 87.33
Pekali korelasi
r = −38/√(17.5·87.33) = −0.972
Jawapan
r = −0.972
12.Regresi linear & korelasi
Jawapan: e = 4.067
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 122/6 = 20.33
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 154
Garis regresi
b = 154/70 = 2.2
a = 20.33 − 2.2·7 = 4.933
ŷ = 4.933 + 2.2·x
Nilai ramalan
ŷ = 4.933 + 2.2·5 = 15.93
Reja
e = 20 − 15.93 = 4.067
Jawapan
e = 4.067
Titik itu terletak di atas garis.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1