Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min
x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang tersusun
Skor-z
z = (x − μ)/σ
Taburan normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap
P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Taburan normal

Skor-z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Kaedah

  1. Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
  4. Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

  1. Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
  2. Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
  3. Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1.96
Selang keyakinan
x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
  2. Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
  4. Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan
b = Sxy/Sxx
Pintasan
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Reja
e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana
15202530354045

Cari sisihan piawai sampel s data: 41, 24, 41, 12, 47.

n = 5
s =
2.Statistik perihalanSukar
z −2−1012

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 500 dan sisihan piawai 25. Cari skor-z z bagi skor 475.

μ = 500σ = 25x = 475
z =
3.KebarangkalianSederhana
P(sekurang-kurangnya satu enam) = ??1?2?3P(enam) = 1/6 pada setiap golekan

Satu dadu adil digolek 3 kali. Berapakah kebarangkalian P mendapat sekurang-kurangnya satu enam?

n = 3
P =
4.KebarangkalianSukar
€p(x)−30.8490.151470.01

Satu permainan berharga €3 untuk dimain. Anda menang €12 dengan kebarangkalian 0.15 dan €150 dengan kebarangkalian 0.01; jika tidak anda tidak menang apa-apa. Pertaruhan tidak dikembalikan. Cari jangkaan keuntungan bersih E(G) setiap permainan.

pertaruhan = €3€12: p = 0.15€150: p = 0.01
E(G) = €
5.Taburan normalSederhana
60.585.5P = ?

skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 65 markah dan sisihan piawai 10 markah. Berapakah pecahan yang terletak antara 60.5 dan 85.5 markah? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 65σ = 10x1 = 60.5x2 = 85.5
P =
6.Taburan normalSukar
0.03 mm0D − d?

Diameter lubang D adalah normal dengan min 25.03 mm dan sisihan piawai 0.015 mm. Diameter aci d adalah tak bersandar dan normal dengan min 25 mm dan sisihan piawai 0.01 mm. Aci yang dipilih secara rawak muat apabila D − d > 0. Cari kebarangkalian P bahawa ia muat. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

lubang: μ = 25.03 mm, σ = 0.015 mmaci: μ = 25 mm, σ = 0.01 mm
P =
7.Selang keyakinanSederhana
x̄E₁ = 11.890%, n = 64x̄E₂ = ?90%, n = 128

Selang keyakinan 90% bagi suatu min, berdasarkan 64 cerapan dan σ yang diketahui, mempunyai margin ralat 11.8. Berapakah margin ralat E₂ jika kajian yang sama menggunakan 128 cerapan?

90%n₁ = 64E₁ = 11.8n₂ = 128
E₂ =
8.Selang keyakinanSukar
p ≈ 0.15, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0.0190%

Satu kajian rintis mencadangkan bahawa kira-kira 0.15 produk adalah cacat. Berapa banyak produk n yang mesti diperiksa supaya selang keyakinan 90% bagi perkadaran mempunyai margin ralat selebar-lebarnya 0.01?

p ≈ 0.15E = 0.0190%
n =
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
−2.1312.131t = ?df = 15

16 pekerja mengambil ujian menaip sebelum dan selepas kursus latihan. Bagi setiap orang beza d = selepas − sebelum (perkataan seminit) direkodkan. Min beza ialah −1.68 dan sisihan piawai beza ialah 8.4. Cari statistik ujian berpasangan t bagi H₀: μd = 0.

n = 16d̄ = −1.68sd = 8.4
t =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
z −1.64501.645

Satu sampel 81 ukuran mempunyai min 97. Sisihan piawai populasi ialah 15. Cari had bawah L selang keyakinan 90% bagi min.

x̄ = 97σ = 15n = 8190%
L =
11.Regresi linear & korelasiSederhana
xy128224325424523617xy2462025

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.

n = 6Σx = 21Σy = 141Σx² = 91Σy² = 3379Σxy = 464
r =
12.Regresi linear & korelasiSukar
xy239346448554656756xy2464050x = 4.5

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (4.5, 48) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.

n = 6(4.5, 48)
e =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 14.54

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 165/5 = 33

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 8² + (−9)² + 8² + (−21)² + 14² = 846

Sisihan piawai

s = √(846/4) = 14.54

Jawapan

s = 14.54
2.Statistik perihalan

Jawapan: z = −1

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Piawaikan

z = (475 − 500)/25 = −1

Jawapan

z = −1
3.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.4213

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pelengkap

P(tiada enam) = (5/6)3 = 0.5787
P = 1 − 0.5787 = 0.4213

Jawapan

P = 0.4213
4.Kebarangkalian

Jawapan: E(G) = 0.3 €

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Hasil bersih

G: 9 (p = 0.15), 147 (p = 0.01), −3 (p = 0.84)

Nilai jangkaan

E(G) = 9·0.15 + 147·0.01 − 3·0.84 = 0.3 €

Jawapan

E(G) = 0.3 €

Nilai positif bermaksud anda memperoleh wang secara purata.

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.6535

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (60.5 − 65)/10 = −0.45
z₂ = (85.5 − 65)/10 = 2.05

Luas antara

P = Φ(2.05) − Φ(−0.45) = 0.9798 − 0.3264 = 0.6535

Jawapan

P = 0.6535
6.Taburan normal

Jawapan: P = 0.9515

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan beza

μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.01803 mm

Piawaikan

z = (0 − 0.03)/0.01803 = −1.66

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(−1.66) = 0.9515

Jawapan

P = 0.9515
7.Selang keyakinan

Jawapan: E₂ = 8.344

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nisbah margin

E₂/E₁ = (1.645/1.645)·√(64/128) = 0.7071

Margin baharu

E₂ = 11.8·0.7071 = 8.344

Jawapan

E₂ = 8.344
8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 3451

Selang keyakinan bagi perkadaran: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), dengan p̂ = x/n. Untuk mencapai margin E anda memerlukan n ≥ z²·p(1 − p)/E², dibundarkan ke atas; tanpa anggaran awal gunakan p = 0.5, yang memberikan n terbesar.

Selesaikan untuk n

n = 1.645²·0.15·0.85/0.01² = 3450

Bundarkan ke atas

n = 3451

Jawapan

n = 3451
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = −0.8

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai bagi min beza

SE = 8.4/√16 = 2.1

Statistik ujian

t = −1.68/2.1 = −0.8

Jawapan

t = −0.8

Dengan df = 15, nilai genting 5% dua sisi ialah 2.131; |t| lebih kecil, maka H₀ tidak ditolak.

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: L = 94.26

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Margin ralat

E = 1.645·15/√81 = 2.742

Had selang

L = 97 − 2.742 = 94.26

Jawapan

L = 94.26
11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = −0.8713

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Hasil tambah berpusat

Sxy = 464 − 21·141/6 = −29.5
Sxx = 91 − 21²/6 = 17.5
Syy = 3379 − 141²/6 = 65.5

Pekali korelasi

r = −29.5/√(17.5·65.5) = −0.8713

Jawapan

r = −0.8713
12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: e = −1.833

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 27/6 = 4.5
ȳ = 299/6 = 49.83

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 60.5

Garis regresi

b = 60.5/17.5 = 3.457
a = 49.83 − 3.457·4.5 = 34.28
ŷ = 34.28 + 3.457·x

Nilai ramalan

ŷ = 34.28 + 3.457·4.5 = 49.83

Reja

e = 48 − 49.83 = −1.833

Jawapan

e = −1.833

Titik itu terletak di bawah garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1