Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min
x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang tersusun
Skor-z
z = (x − μ)/σ
Taburan normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap
P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Taburan normal

Skor-z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Kaedah

  1. Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
  4. Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

  1. Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
  2. Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
  3. Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1.96
Selang keyakinan
x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
  2. Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
  4. Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan
b = Sxy/Sxx
Pintasan
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Reja
e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana
10152025303540455055

Cari sisihan piawai sampel s data: 46, 58, 41, 10, 13, 27, 17.

n = 7
s =
2.Statistik perihalanSukar
z −2−1012

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 170 dan sisihan piawai 10. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 165?

μ = 170σ = 10x = 165
P =
3.KebarangkalianSederhana
n = 7k = 2N = ?

Dalam berapa cara N satu jawatankuasa 2 orang boleh dipilih daripada kumpulan 7? Susunan tidak penting.

n = 7k = 2
N =
4.KebarangkalianSukar
€p(x)−100.73200.251900.02

Satu permainan berharga €10 untuk dimain. Anda menang €30 dengan kebarangkalian 0.25 dan €200 dengan kebarangkalian 0.02; jika tidak anda tidak menang apa-apa. Pertaruhan tidak dikembalikan. Cari jangkaan keuntungan bersih E(G) setiap permainan.

pertaruhan = €10€30: p = 0.25€200: p = 0.02
E(G) = €
5.Taburan normalSederhana
−3−2−10123zluas berlorek antara −z dan z = 0.8293

Seret z supaya luas berlorek antara −z dan z di bawah lengkung normal piawai ialah 0.8293. Cari z hingga dua tempat perpuluhan.

A = 0.8293
z =
6.Taburan normalSukar
μ = 100x = ?90%

skor IQ bertaburan normal dengan min 100 markah dan sisihan piawai 15 markah. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 90% daripadanya (persentil ke-90).

μ = 100σ = 15P = 90%
x = markah
7.Selang keyakinanSederhana
n = 25, s = 5L = ?Ux̄ = 80.5E99%

Satu sampel 25 item mempunyai min 80.5 dan sisihan piawai s = 5. Populasi lebih kurang normal. Cari had bawah selang keyakinan 99% untuk min.

n = 25x̄ = 80.5s = 599%t(24) = 2.797
had bawah =
8.Selang keyakinanSukar
σ = 36, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 199%

Sisihan piawai populasi ialah 36. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 99% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 1?

σ = 36E = 199%
n =
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
t −1.98401.984

Satu sampel 100 pelajar mempunyai skor min 121.2 dan sisihan piawai sampel 5. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 121.2s = 5n = 100
t =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
μ₀x̄c

Ujian z satu sisi bagi H₀: μ = 80 terhadap H₁: μ > 80 dijalankan pada α = 0.05 dengan sampel 64; sisihan piawai diketahui ialah 20. Pada hakikatnya min ialah 86. Cari kebarangkalian ralat Jenis II β dalam peratus.

μ₀ = 80μ = 86σ = 20n = 64α = 0.05
β = %
11.Regresi linear & korelasiSederhana
xy124222319418518615xy246152025

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Cari pekali korelasi Pearson r.

n = 6
r =
12.Regresi linear & korelasiSukar
xy2541361482010241233xy510102030ŷ = 23

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x yang manakah garis meramalkan ŷ = 23?

n = 6ŷ = 23
x =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 18.38

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 212/7 = 30.29

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 15.71² + 27.71² + 10.71² + (−20.29)² + (−17.29)² + (−3.286)² + (−13.29)² = 2027

Sisihan piawai

s = √(2027/6) = 18.38

Jawapan

s = 18.38
2.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.3085

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Piawaikan

z = −0.5

Jadual normal piawai

Φ(−0.5) = 0.3085
P = 0.3085

Jawapan

P = 0.3085
3.Kebarangkalian

Jawapan: N = 21

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Gabungan

C(7, 2) = (7·6)/(2·1) = 21

Jawapan

N = 21
4.Kebarangkalian

Jawapan: E(G) = 1.5 €

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Hasil bersih

G: 20 (p = 0.25), 190 (p = 0.02), −10 (p = 0.73)

Nilai jangkaan

E(G) = 20·0.25 + 190·0.02 − 10·0.73 = 1.5 €

Jawapan

E(G) = 1.5 €

Nilai positif bermaksud anda memperoleh wang secara purata.

5.Taburan normal

Jawapan: z = 1.37

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = (1 + 0.8293)/2 = 0.9147

Baca jadual-z secara terbalik

Cari 0.9147 di dalam jadual dan baca z.

z = 1.37

Jawapan

z = 1.37
6.Taburan normal

Jawapan: x = 119.2 markah

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

z untuk persentil

Φ(z) = 0.9 → z = 1.282

Kembali kepada x

x = 100 + 1.282·15 = 119.22 markah

Jawapan

x = 119.22 markah
7.Selang keyakinan

Jawapan: had bawah = 77.7

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 24, t = 2.797

Margin ralat

E = 2.797·5/√25 = 2.797

Selang

80.5 ± 2.797 → [77.7, 83.3]

Jawapan

had bawah = 77.7
8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 8600

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (2.576·36/1)² = 8600

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 8600

Jawapan

n = 8600
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = 2.4

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai

SE = 5/√100 = 5/10 = 0.5

Statistik ujian

t = (121.2 − 120)/0.5 = 2.4

Jawapan

t = 2.4
t0.025; df = 99 = 1.984

|t| > 1.984, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: β = 22.51 %

Kuasa ujian: kuasa = 1 − β ialah kebarangkalian menolak H₀ apabila ia salah. Cari nilai pemotongan x̄c daripada μ₀ dan z_α, kemudian hitung kebarangkalian jatuh melepasi x̄c menggunakan min sebenar: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Min sampel genting

SE = 20/√64 = 2.5
x̄c = 80 + 1.645·2.5 = 84.11

z di bawah min sebenar

z = (84.11 − 86)/2.5 = −0.755

Ralat Jenis II

kuasa = P(Z > −0.755) = 77.49%
β = 100% − 77.49% = 22.51%

Jawapan

β = 22.51%
11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = −0.9676

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 116/6 = 19.33

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29
Syy = Σ(y − ȳ)² = 51.33

Pekali korelasi

r = −29/√(17.5·51.33) = −0.9676

Jawapan

r = −0.9676
12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: x = 8.89

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 109/6 = 18.17

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 179

Garis regresi

b = 179/70 = 2.557
a = 18.17 − 2.557·7 = 0.2667
ŷ = 0.2667 + 2.557·x

Selesaikan untuk x

x = (23 − 0.2667)/2.557 = 8.89

Jawapan

x = 8.89

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1