Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 14, 43, 13, 23, 54, 38.

n = 6

s =

2.Statistik perihalanSukar

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 170 dan sisihan piawai 10. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 160?

μ = 170σ = 10x = 160

P =

3.KebarangkalianSederhana

Dalam berapa cara N satu jawatankuasa 5 orang boleh dipilih daripada kumpulan 14? Susunan tidak penting.

n = 14k = 5

N =

4.KebarangkalianSukar

Satu permainan berharga €3 untuk dimain. Anda menang €6 dengan kebarangkalian 0.2 dan €150 dengan kebarangkalian 0.01; jika tidak anda tidak menang apa-apa. Pertaruhan tidak dikembalikan. Cari jangkaan keuntungan bersih E(G) setiap permainan.

pertaruhan = €3€6: p = 0.2€150: p = 0.01

E(G) = €

5.Taburan normalSederhana

X normal dengan min 250 g dan sisihan piawai 4 g; Y tak bersandar dan normal dengan min 500 g dan sisihan piawai 9 g. Cari kebarangkalian P bahawa X + Y melebihi 742.1 g. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 742.1 g

P =

6.Taburan normalSukar

skor IQ bertaburan normal dengan min 100 markah dan sisihan piawai 15 markah. Seret titik pemotong supaya 75% teratas yang berlorek berada di sebelah kanannya. Cari titik pemotong x.

μ = 100 markahσ = 15 markah75%

x = markah

7.Selang keyakinanSederhana

Hayat bateri dua model telefon dibandingkan. Model 1: 60 telefon, min 99 j, sisihan piawai diketahui 10 j. Model 2: 40 telefon, min 85.5 j, sisihan piawai diketahui 19 j. Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 90% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 60x̄₁ = 99 hσ₁ = 10 hn₂ = 40x̄₂ = 85.5 hσ₂ = 19 h90%

E = h

8.Selang keyakinanSukar

Sisihan piawai populasi ialah 40. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 99% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 1.5?

σ = 40E = 1.599%

n =

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Satu sampel 49 pelajar mempunyai skor min 72.43 dan sisihan piawai sampel 20. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 72.43s = 20n = 49

t =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Ujian z satu sisi bagi H₀: μ = 80 terhadap H₁: μ < 80 dijalankan pada α = 0.10 dengan sampel 64; sisihan piawai diketahui ialah 8. Pada hakikatnya min ialah 78.2. Cari kebarangkalian ralat Jenis II β dalam peratus.

μ₀ = 80μ = 78.2σ = 8n = 64α = 0.10

β = %

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.

n = 6Σx = 33Σy = 404Σx² = 199Σy² = 27592Σxy = 2300

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (2.5, 23) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.

n = 6(2.5, 23)

e =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 16.73

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 185/6 = 30.83

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−16.83)² + 12.17² + (−17.83)² + (−7.833)² + 23.17² + 7.167² = 1399

Sisihan piawai

s = √(1399/5) = 16.73

Jawapan

s = 16.73

2.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.8413

Piawaikan

z = −1

Jadual normal piawai

Φ(−1) = 0.1587

P = 1 − 0.1587 = 0.8413

Jawapan

P = 0.8413

3.Kebarangkalian

Jawapan: N = 2002

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Gabungan

C(14, 5) = (14·13·12·11·10)/(5·4·3·2·1) = 2002

Jawapan

N = 2002

4.Kebarangkalian

Jawapan: E(G) = −0.3 €

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Hasil bersih

G: 3 (p = 0.2), 147 (p = 0.01), −3 (p = 0.79)

Nilai jangkaan

E(G) = 3·0.2 + 147·0.01 − 3·0.79 = −0.3 €

Jawapan

E(G) = −0.3 €

Nilai negatif bermaksud anda kehilangan wang secara purata.

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.7881

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan hasil tambah

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9.849 g

Piawaikan

z = (742.1 − 750)/9.849 = −0.8

Ekor atas

P = 1 − Φ(−0.8) = 1 − 0.2119 = 0.7881

Jawapan

P = 0.7881

6.Taburan normal

Jawapan: x = 90 markah

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0.25

z daripada jadual

z ≈ −0.67

Kembali kepada unit asal

x = 100 − 0.67·15 = 90 markah

Jawapan

x = 90 markah

7.Selang keyakinan

Jawapan: E = 5.379 h

Selang bagi suatu beza: anggaran ± nilai genting × ralat piawai. Bagi dua min bebas dengan σ diketahui: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) dan z. Dengan varians sama yang tidak diketahui: s_p terkumpul dan t dengan darjah kebebasan n₁ + n₂ − 2. Bagi data berpasangan, kerjakan pada beza: d̄ ± t·s_d/√n.

Anggaran titik

x̄₁ − x̄₂ = 99 − 85.5 = 13.5

Ralat piawai

SE = √(10²/60 + 19²/40) = 3.27

Margin ralat

E = 1.645·3.27 = 5.379

Jawapan

E = 5.379 h

Selang itu tidak mengandungi 0, maka min berbeza dengan signifikan.

8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 4719

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (2.576·40/1.5)² = 4719

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 4719

Jawapan

n = 4719

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = −0.8995

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai

SE = 20/√49 = 20/7 = 2.857

Statistik ujian

t = (72.43 − 75)/2.857 = −0.8995

Jawapan

t = −0.8995

t_{0.025; df = 48} = 2.011

|t| < 2.011, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: β = 30.22 %

Kuasa ujian: kuasa = 1 − β ialah kebarangkalian menolak H₀ apabila ia salah. Cari nilai pemotongan x̄c daripada μ₀ dan z_α, kemudian hitung kebarangkalian jatuh melepasi x̄c menggunakan min sebenar: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Min sampel genting

SE = 8/√64 = 1

x̄_c = 80 − 1.282·1 = 78.72

z di bawah min sebenar

z = (78.72 − 78.2)/1 = 0.518

Ralat Jenis II

kuasa = P(Z < 0.518) = 69.78%

β = 100% − 69.78% = 30.22%

Jawapan

β = 30.22%

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.945

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Hasil tambah berpusat

S_xy = 2300 − 33·404/6 = 78

S_xx = 199 − 33²/6 = 17.5

S_yy = 27592 − 404²/6 = 389.3

Pekali korelasi

r = 78/√(17.5·389.3) = 0.945

Jawapan

r = 0.945

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: e = 2.071

Min

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 111/6 = 18.5

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −42.5

Garis regresi

b = −42.5/17.5 = −2.429

a = 18.5 − (−2.429)·3.5 = 27

ŷ = 27 − 2.429·x

Nilai ramalan

ŷ = 27 + (−2.429)·2.5 = 20.93

Reja

e = 23 − 20.93 = 2.071

Jawapan

e = 2.071

Titik itu terletak di atas garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1