Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 16, 24, 27, 25, 42, 29, 29.

n = 7

s =

2.Statistik perihalanSukar

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 60 dan sisihan piawai 10. Cari skor-z z bagi skor 55.

μ = 60σ = 10x = 55

z =

3.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.

x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.35, 0.3

Var(X) =

4.KebarangkalianSukar

X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 5X + 20. Cari sisihan piawai σ_Y bagi Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.25, 0.25, 0.3, 0.2Y = 5X + 20

σ_Y =

5.Taburan normalSederhana

X normal dengan min 12 min dan sisihan piawai 1.5 min; Y tak bersandar dan normal dengan min 20 min dan sisihan piawai 2 min. Cari kebarangkalian P bahawa X + Y melebihi 35.1 min. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μ_X = 12, σ_X = 1.5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 35.1 min

P =

6.Taburan normalSukar

ketinggian lelaki dewasa bertaburan normal dengan min 178 cm dan sisihan piawai 7 cm. Seret titik pemotong supaya 80% terbawah yang berlorek berada di sebelah kirinya. Cari titik pemotong x.

μ = 178 cmσ = 7 cm80%

x = cm

7.Selang keyakinanSederhana

Satu sampel 13 item mempunyai min 58 dan sisihan piawai s = 16. Populasi lebih kurang normal. Cari had atas selang keyakinan 95% untuk min.

n = 13x̄ = 58s = 1695%t(12) = 2.179

had atas =

8.Selang keyakinanSukar

Dua baja diuji. Kumpulan petak 1: 5 petak, min hasil 70 kg, sisihan piawai 1.5 kg. Kumpulan petak 2: 11 petak, min 77 kg, sisihan piawai 10 kg. Andaikan varians sama (t terkumpul, df = n₁ + n₂ − 2). Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 95% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 5x̄₁ = 70s₁ = 1.5n₂ = 11x̄₂ = 77s₂ = 1095%t(14) = 2.145

E = kg

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Dua kaedah pengajaran dibandingkan. Kumpulan 1: 13 pelajar, skor min 100.5, sisihan piawai 10.5. Kumpulan 2: 8 pelajar, skor min 89.2, sisihan piawai 5.5. Andaikan varians populasi sama dan gunakan ujian t dua sampel terkumpul. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ₁ = μ₂, dengan mengambil beza sebagai x̄₁ − x̄₂ (kumpulan 1 tolak kumpulan 2).

n₁ = 13x̄₁ = 100.5s₁ = 10.5n₂ = 8x̄₂ = 89.2s₂ = 5.5

t =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Ujian z satu sisi bagi H₀: μ = 80 terhadap H₁: μ < 80 dijalankan pada α = 0.05 dengan sampel 25; sisihan piawai diketahui ialah 12.5. Pada hakikatnya min ialah 72.25. Cari kuasa 1 − β ujian itu dalam peratus.

μ₀ = 80μ = 72.25σ = 12.5n = 25α = 0.05

1 − β = %

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Cari pekali korelasi Pearson r.

n = 6

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 9.

n = 5x = 9

ŷ =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 7.807

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 192/7 = 27.43

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−11.43)² + (−3.429)² + (−0.4286)² + (−2.429)² + 14.57² + 1.571² + 1.571² = 365.7

Sisihan piawai

s = √(365.7/6) = 7.807

Jawapan

s = 7.807

2.Statistik perihalan

Jawapan: z = −0.5

Piawaikan

z = (55 − 60)/10 = −0.5

Jawapan

z = −0.5

3.Kebarangkalian

Jawapan: Var(X) = 0.6475

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 0·0.35 + 1·0.35 + 2·0.3 = 0.95

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 0·0.35 + 1·0.35 + 4·0.3 = 1.55

Varians

Var(X) = 1.55 − 0.95² = 0.6475

Jawapan

Var(X) = 0.6475

4.Kebarangkalian

Jawapan: σ_Y = 10.71

Serakan X

μ = 2.9, Var(X) = 4.59, σ_X = 2.142

Perubahan linear

σ_Y = |5|·2.142 = 10.71

Jawapan

σ_Y = 10.71

Min memang berubah: E(Y) = 5·2.9 + 20 = 34.5.

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.1075

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan hasil tambah

μ = 32 min, σ = √(1.5² + 2²) = 2.5 min

Piawaikan

z = (35.1 − 32)/2.5 = 1.24

Ekor atas

P = 1 − Φ(1.24) = 1 − 0.8925 = 0.1075

Jawapan

P = 0.1075

6.Taburan normal

Jawapan: x = 183.9 cm

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0.8

z daripada jadual

z ≈ 0.84

Kembali kepada unit asal

x = 178 + 0.84·7 = 183.9 cm

Jawapan

x = 183.9 cm

7.Selang keyakinan

Jawapan: had atas = 67.67

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 12, t = 2.179

Margin ralat

E = 2.179·16/√13 = 9.67

Selang

58 ± 9.67 → [48.33, 67.67]

Jawapan

had atas = 67.67

8.Selang keyakinan

Jawapan: E = 9.822 kg

Selang bagi suatu beza: anggaran ± nilai genting × ralat piawai. Bagi dua min bebas dengan σ diketahui: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) dan z. Dengan varians sama yang tidak diketahui: s_p terkumpul dan t dengan darjah kebebasan n₁ + n₂ − 2. Bagi data berpasangan, kerjakan pada beza: d̄ ± t·s_d/√n.

Sisihan piawai terkumpul

s_p² = (4·1.5² + 10·10²)/14 = 72.07

s_p = 8.489

Margin ralat

E = 2.145·8.489·√(1/5 + 1/11) = 9.822

Jawapan

E = 9.822 kg

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = 2.798

Ujian hipotesis: statistik ujian = (anggaran − nilai di bawah H₀)/(ralat piawai di bawah H₀). Nilai-p ialah kebarangkalian, dengan andaian H₀ benar, memperoleh statistik yang sekurang-kurangnya sama ekstrem dengan yang dicerap: luas dalam satu ekor bagi H₁ satu sisi, dua kali luas ekor bagi H₁ dua sisi. Tolak H₀ apabila p ≤ α.

Varians terkumpul

s_p² = (12·10.5² + 7·5.5²)/19 = 80.78

s_p = 8.988

Ralat piawai

SE = 8.988·√(1/13 + 1/8) = 4.039

Statistik ujian

t = (100.5 − 89.2)/4.039 = 2.798

Jawapan

t = 2.798

Dengan df = 19, nilai genting 5% dua sisi ialah 2.093; |t| lebih besar, maka H₀ ditolak.

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: 1 − β = 92.72 %

Kuasa ujian: kuasa = 1 − β ialah kebarangkalian menolak H₀ apabila ia salah. Cari nilai pemotongan x̄c daripada μ₀ dan z_α, kemudian hitung kebarangkalian jatuh melepasi x̄c menggunakan min sebenar: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Min sampel genting

SE = 12.5/√25 = 2.5

x̄_c = 80 − 1.645·2.5 = 75.89

z di bawah min sebenar

z = (75.89 − 72.25)/2.5 = 1.455

Kuasa

kuasa = P(Z < 1.455) = 92.72%

1 − β = 92.72%

Jawapan

1 − β = 92.72%

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.995

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 153/6 = 25.5

ȳ = 860/6 = 143.3

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 990

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 6285

Pekali korelasi

r = 990/√(157.5·6285) = 0.995

Jawapan

r = 0.995

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: ŷ = 22.85

Min

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 79/5 = 15.8

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 94

Garis regresi

b = 94/40 = 2.35

a = 15.8 − 2.35·6 = 1.7

ŷ = 1.7 + 2.35·x

Ramalan

ŷ = 1.7 + 2.35·9 = 22.85

Jawapan

ŷ = 22.85

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1