Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min
x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang tersusun
Skor-z
z = (x − μ)/σ
Taburan normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap
P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Taburan normal

Skor-z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Kaedah

  1. Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
  4. Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

  1. Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
  2. Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
  3. Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1.96
Selang keyakinan
x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
  2. Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
  4. Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan
b = Sxy/Sxx
Pintasan
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Reja
e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana
15202530354045

Cari sisihan piawai sampel s data: 37, 45, 49, 36, 15, 26, 32.

n = 7
s =
2.Statistik perihalanSukar
z −2−1012

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 70 dan sisihan piawai 5. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 62.5?

μ = 70σ = 5x = 62.5
P =
3.KebarangkalianSederhana
xp(x)00.2510.120.130.340.25μ = 2.2

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.25, 0.1, 0.1, 0.3, 0.25
Var(X) =
4.KebarangkalianSukar
xp(x)100.3200.2300.25400.25μ

X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 2X + 4. Cari sisihan piawai σY bagi Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.3, 0.2, 0.25, 0.25Y = 2X + 4
σY =
5.Taburan normalSederhana
85.75103.75P = ?

skor IQ bertaburan normal dengan min 100 markah dan sisihan piawai 15 markah. Berapakah pecahan yang terletak antara 85.75 dan 103.75 markah? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 100σ = 15x1 = 85.75x2 = 103.75
P =
6.Taburan normalSukar
μ = 32x = ?10%

masa penghantaran bertaburan normal dengan min 32 min dan sisihan piawai 6 min. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 10% daripadanya (persentil ke-10).

μ = 32σ = 6P = 10%
x = min
7.Selang keyakinanSederhana
n = 10, s = 12.5LUx̄ = 10.5E = ?90%

Satu sampel 10 item mempunyai min 10.5 dan sisihan piawai s = 12.5. Populasi lebih kurang normal. Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 90% untuk min.

n = 10x̄ = 10.5s = 12.590%t(9) = 1.833
E =
8.Selang keyakinanSukar
σ = 28, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 399%

Sisihan piawai populasi ialah 28. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 99% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 3?

σ = 28E = 399%
n =
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
t −2.0302.03

Satu sampel 36 pelajar mempunyai skor min 107.3 dan sisihan piawai sampel 15. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 107.3s = 15n = 36
t =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 2.5α = 0.05βσ = 23, kuasa 80%, n = ?

Ujian z satu sisi pada α = 0.05 mesti mengesan anjakan min sebanyak 2.5 unit dengan kuasa 80%. Sisihan piawai ialah 23. Cari saiz sampel minimum n.

α = 0.05kuasa = 80%δ = 2.5σ = 23zα = 1.645zβ = 0.842
n =
11.Regresi linear & korelasiSederhana
xy123223320418515617xy2461520

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Cari pekali penentuan r² bagi garis kuasa dua terkecil.

n = 6
r² =
12.Regresi linear & korelasiSukar
xy264861681810201227xy5101020x = 7

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 7.

n = 6x = 7
ŷ =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 11.46

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 240/7 = 34.29

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 2.714² + 10.71² + 14.71² + 1.714² + (−19.29)² + (−8.286)² + (−2.286)² = 787.4

Sisihan piawai

s = √(787.4/6) = 11.46

Jawapan

s = 11.46
2.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.06681

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Piawaikan

z = −1.5

Jadual normal piawai

Φ(−1.5) = 0.06681
P = 0.06681

Jawapan

P = 0.06681
3.Kebarangkalian

Jawapan: Var(X) = 2.36

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 0·0.25 + 1·0.1 + 2·0.1 + 3·0.3 + 4·0.25 = 2.2

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 0·0.25 + 1·0.1 + 4·0.1 + 9·0.3 + 16·0.25 = 7.2

Varians

Var(X) = 7.2 − 2.2² = 2.36

Jawapan

Var(X) = 2.36
4.Kebarangkalian

Jawapan: σY = 23.22

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Serakan X

μ = 24.5, Var(X) = 134.8, σX = 11.61

Perubahan linear

σY = |2|·11.61 = 23.22

Jawapan

σY = 23.22

Min memang berubah: E(Y) = 2·24.5 + 4 = 53.

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.4277

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (85.75 − 100)/15 = −0.95
z₂ = (103.75 − 100)/15 = 0.25

Luas antara

P = Φ(0.25) − Φ(−0.95) = 0.5987 − 0.1711 = 0.4277

Jawapan

P = 0.4277
6.Taburan normal

Jawapan: x = 24.31 min

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

z untuk persentil

Φ(z) = 0.1 → z = −1.282

Kembali kepada x

x = 32 + −1.282·6 = 24.31 min

Jawapan

x = 24.31 min
7.Selang keyakinan

Jawapan: E = 7.246

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 9, t = 1.833

Margin ralat

E = 1.833·12.5/√10 = 7.246

Jawapan

E = 7.246
8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 579

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (2.576·28/3)² = 578

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 579

Jawapan

n = 579
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = 2.92

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai

SE = 15/√36 = 15/6 = 2.5

Statistik ujian

t = (107.3 − 100)/2.5 = 2.92

Jawapan

t = 2.92
t0.025; df = 35 = 2.03

|t| > 2.03, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: n = 524

Saiz sampel untuk ujian: untuk mengesan anjakan benar δ dengan kuasa 1 − β dalam ujian z satu sisi pada aras α, ralat piawai mesti memenuhi δ = (z_α + z_β)·σ/√n, maka n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = ((1.645 + 0.842)·23/2.5)² = 523.5

Bundarkan ke atas

n = 524

Jawapan

n = 524
11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r² = 0.84

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 116/6 = 19.33

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −28
Syy = Σ(y − ȳ)² = 53.33

Pekali penentuan

r² = −28²/(17.5·53.33) = 0.84

Jawapan

r² = 0.84

Kira-kira 84% variasi dalam y diterangkan oleh garis itu.

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: ŷ = 15.83

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 95/6 = 15.83

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 143

Garis regresi

b = 143/70 = 2.043
a = 15.83 − 2.043·7 = 1.533
ŷ = 1.533 + 2.043·x

Ramalan

ŷ = 1.533 + 2.043·7 = 15.83

Jawapan

ŷ = 15.83

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1