Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 45, 20, 45, 57, 45, 33, 20.

n = 7

s =

2.Statistik perihalanSukar

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 70 dan sisihan piawai 10. Cari skor-z z bagi skor 80.

μ = 70σ = 10x = 80

z =

3.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.05, 0.15, 0.25, 0.2, 0.35

Var(X) =

4.KebarangkalianSukar

X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = −2X + 4. Cari sisihan piawai σ_Y bagi Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.05, 0.25, 0.2, 0.25, 0.25Y = −2X + 4

σ_Y =

5.Taburan normalSederhana

Jisim kotak adalah tak bersandar dan normal dengan min 12 kg dan sisihan piawai 0.8 kg. Cari kebarangkalian P bahawa jumlah jisim 5 daripadanya melebihi 63.6 kg. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μ = 12 kgσ = 0.8 kgn = 5> 63.6 kg

P =

6.Taburan normalSukar

Diameter lubang D adalah normal dengan min 25.05 mm dan sisihan piawai 0.02 mm. Diameter aci d adalah tak bersandar dan normal dengan min 25 mm dan sisihan piawai 0.02 mm. Aci yang dipilih secara rawak muat apabila D − d > 0. Cari kebarangkalian P bahawa ia muat. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

lubang: μ = 25.05 mm, σ = 0.02 mmaci: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm

P =

7.Selang keyakinanSederhana

Satu sampel 30 item mempunyai min 27 dan sisihan piawai s = 16. Populasi lebih kurang normal. Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 99% untuk min.

n = 30x̄ = 27s = 1699%t(29) = 2.756

E =

8.Selang keyakinanSukar

Sisihan piawai populasi ialah 19. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 99% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 3?

σ = 19E = 399%

n =

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Dua talian pengeluaran membuat bahagian yang sama. Talian 1: sampel 60 bahagian mempunyai min panjang 130 mm, dan sisihan piawai diketahui talian itu ialah 6 mm. Talian 2: sampel 60 bahagian mempunyai min 122.4 mm, sisihan piawai diketahui 18 mm. Cari statistik ujian z bagi H₀: μ₁ = μ₂, dengan mengambil beza sebagai x̄₁ − x̄₂ (talian 1 tolak talian 2).

n₁ = 60x̄₁ = 130 mmσ₁ = 6 mmn₂ = 60x̄₂ = 122.4 mmσ₂ = 18 mm

z =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Dalam satu percubaan, 15 daripada 100 pesakit yang menerima rawatan A sembuh, dan 19 daripada 100 pesakit yang menerima rawatan B. Dengan menggunakan perkadaran terkumpul, cari statistik ujian z bagi H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 15n₁ = 100x₂ = 19n₂ = 100

z =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Cari pekali korelasi Pearson r.

n = 6

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (3.5, 61) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.

n = 6(3.5, 61)

e =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 14.03

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 265/7 = 37.86

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 7.143² + (−17.86)² + 7.143² + 19.14² + 7.143² + (−4.857)² + (−17.86)² = 1181

Sisihan piawai

s = √(1181/6) = 14.03

Jawapan

s = 14.03

2.Statistik perihalan

Jawapan: z = 1

Piawaikan

z = (80 − 70)/10 = 1

Jawapan

z = 1

3.Kebarangkalian

Jawapan: Var(X) = 1.528

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 0·0.05 + 1·0.15 + 2·0.25 + 3·0.2 + 4·0.35 = 2.65

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 0·0.05 + 1·0.15 + 4·0.25 + 9·0.2 + 16·0.35 = 8.55

Varians

Var(X) = 8.55 − 2.65² = 1.528

Jawapan

Var(X) = 1.528

4.Kebarangkalian

Jawapan: σ_Y = 2.482

Serakan X

μ = 3.4, Var(X) = 1.54, σ_X = 1.241

Perubahan linear

σ_Y = |−2|·1.241 = 2.482

Jawapan

σ_Y = 2.482

Min memang berubah: E(Y) = −2·3.4 + 4 = −2.8.

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.02222

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan jumlah

μ_T = 60 kg, σ_T = 0.8·√5 = 1.789 kg

Piawaikan

z = (63.6 − 60)/1.789 = 2.01

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(2.01) = 0.02222

Jawapan

P = 0.02222

6.Taburan normal

Jawapan: P = 0.9616

Taburan beza

μ = 25.05 − 25 = 0.05 mm, σ = 0.02828 mm

Piawaikan

z = (0 − 0.05)/0.02828 = −1.77

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(−1.77) = 0.9616

Jawapan

P = 0.9616

7.Selang keyakinan

Jawapan: E = 8.051

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 29, t = 2.756

Margin ralat

E = 2.756·16/√30 = 8.051

Jawapan

E = 8.051

8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 267

Selesaikan untuk n

n = (2.576·19/3)² = 266.2

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 267

Jawapan

n = 267

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: z = 3.103

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Ralat piawai bagi beza

SE = √(6²/60 + 18²/60) = √6 = 2.449

Statistik ujian

z = (130 − 122.4)/2.449 = 3.103

Jawapan

z = 3.103

|z| > 1.96, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: z = −0.753

Perkadaran sampel

p̂₁ = 15/100 = 0.15

p̂₂ = 19/100 = 0.19

p̂ = 34/200 = 0.17

Ralat piawai di bawah H₀

SE = √(0.17·0.83·(1/100 + 1/100)) = 0.05312

Statistik ujian

z = (0.15 − 0.19)/0.05312 = −0.753

Jawapan

z = −0.753

|z| < 1.96, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9853

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 118/6 = 19.67

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 172

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 435.3

Pekali korelasi

r = 172/√(70·435.3) = 0.9853

Jawapan

r = 0.9853

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: e = 1.667

Min

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 356/6 = 59.33

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 83

Garis regresi

b = 83/17.5 = 4.743

a = 59.33 − 4.743·3.5 = 42.73

ŷ = 42.73 + 4.743·x

Nilai ramalan

ŷ = 42.73 + 4.743·3.5 = 59.33

Reja

e = 61 − 59.33 = 1.667

Jawapan

e = 1.667

Titik itu terletak di atas garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1