Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min
x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang tersusun
Skor-z
z = (x − μ)/σ
Taburan normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap
P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Taburan normal

Skor-z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Kaedah

  1. Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
  4. Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

  1. Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
  2. Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
  3. Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1.96
Selang keyakinan
x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
  2. Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
  4. Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan
b = Sxy/Sxx
Pintasan
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Reja
e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana
101520253035

Cari sisihan piawai sampel s data: 39, 25, 18, 10, 29.

n = 5
s =
2.Statistik perihalanSukar
z −2−1012

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 170 dan sisihan piawai 12. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 182?

μ = 170σ = 12x = 182
P =
3.KebarangkalianSederhana
merah: 8biru: 5

Sebuah beg mengandungi 8 bebola merah dan 5 biru. Anda mengambil dua bebola tanpa memulangkan yang pertama. Berapakah kebarangkalian P kedua-duanya merah?

8 / 5
P =
4.KebarangkalianSukar
€p(x)−20.8820.1980.02

Satu permainan berharga €2 untuk dimain. Anda menang €4 dengan kebarangkalian 0.1 dan €100 dengan kebarangkalian 0.02; jika tidak anda tidak menang apa-apa. Pertaruhan tidak dikembalikan. Cari jangkaan keuntungan bersih E(G) setiap permainan.

pertaruhan = €2€4: p = 0.1€100: p = 0.02
E(G) = €
5.Taburan normalSederhana
85.75112P = ?

skor IQ bertaburan normal dengan min 100 markah dan sisihan piawai 15 markah. Berapakah pecahan yang terletak antara 85.75 dan 112 markah? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 100σ = 15x1 = 85.75x2 = 112
P =
6.Taburan normalSukar
4 s0X − Y?

Masa pusingan pelari A X dan masa pusingan pelari B Y adalah tak bersandar dan normal: X mempunyai min 52 s dan sisihan piawai 4 s, Y mempunyai min 48 s dan sisihan piawai 3 s. Cari kebarangkalian P bahawa X lebih besar daripada Y. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
7.Selang keyakinanSederhana
n = 11, s = 3.5L = ?Ux̄ = 63E99%

Satu sampel 11 item mempunyai min 63 dan sisihan piawai s = 3.5. Populasi lebih kurang normal. Cari had bawah selang keyakinan 99% untuk min.

n = 11x̄ = 63s = 3.599%t(10) = 3.169
had bawah =
8.Selang keyakinanSukar
n = 11Lσ = ?s = 11.195%

Diameter 11 aci yang dimesin mempunyai sisihan piawai sampel 11.1 µm. Dengan mengandaikan diameter bertaburan normal, cari had atas σ selang keyakinan 95% bagi sisihan piawai populasi. Dengan df = 10, 2.5% taburan χ² terletak di bawah 3.247 dan 2.5% terletak di atas 20.483.

n = 11s = 11.1 µmχ² = 3.247, 20.483
σ = µm
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
−2.0452.045t = ?df = 29

Dua kaedah pengajaran dibandingkan. Kumpulan 1: 10 pelajar, skor min 27.5, sisihan piawai 7. Kumpulan 2: 21 pelajar, skor min 23, sisihan piawai 12. Andaikan varians populasi sama dan gunakan ujian t dua sampel terkumpul. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ₁ = μ₂, dengan mengambil beza sebagai x̄₁ − x̄₂ (kumpulan 1 tolak kumpulan 2).

n₁ = 10x̄₁ = 27.5s₁ = 7n₂ = 21x̄₂ = 23s₂ = 12
t =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
z −1.64501.645

Satu sampel 16 ukuran mempunyai min 497.7. Sisihan piawai populasi ialah 4. Cari had bawah L selang keyakinan 90% bagi min.

x̄ = 497.7σ = 4n = 1690%
L =
11.Regresi linear & korelasiSederhana
xy121219318414513xy241520

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Cari pekali korelasi Pearson r.

n = 5
r =
12.Regresi linear & korelasiSukar
xy2941362182410301236xy510102030x = 3

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 3.

n = 6x = 3
ŷ =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 10.99

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 121/5 = 24.2

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 14.8² + 0.8² + (−6.2)² + (−14.2)² + 4.8² = 482.8

Sisihan piawai

s = √(482.8/4) = 10.99

Jawapan

s = 10.99
2.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.1587

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Piawaikan

z = 1

Jadual normal piawai

Φ(1) = 0.8413
P = 1 − 0.8413 = 0.1587

Jawapan

P = 0.1587
3.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.359

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pengambilan pertama dan kedua

P = 8/13 · 7/12 = 56/156 = 0.359

Jawapan

P = 0.359
4.Kebarangkalian

Jawapan: E(G) = 0.4 €

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Hasil bersih

G: 2 (p = 0.1), 98 (p = 0.02), −2 (p = 0.88)

Nilai jangkaan

E(G) = 2·0.1 + 98·0.02 − 2·0.88 = 0.4 €

Jawapan

E(G) = 0.4 €

Nilai positif bermaksud anda memperoleh wang secara purata.

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.6171

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (85.75 − 100)/15 = −0.95
z₂ = (112 − 100)/15 = 0.8

Luas antara

P = Φ(0.8) − Φ(−0.95) = 0.7881 − 0.1711 = 0.6171

Jawapan

P = 0.6171
6.Taburan normal

Jawapan: P = 0.7881

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan beza

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Piawaikan

z = (0 − 4)/5 = −0.8

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881

Jawapan

P = 0.7881
7.Selang keyakinan

Jawapan: had bawah = 59.66

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 10, t = 3.169

Margin ralat

E = 3.169·3.5/√11 = 3.344

Selang

63 ± 3.344 → [59.66, 66.34]

Jawapan

had bawah = 59.66
8.Selang keyakinan

Jawapan: σ = 19.48 µm

Selang bagi suatu varians: (n − 1)s²/σ² mempunyai taburan χ² dengan darjah kebebasan n − 1. Selang 95% bagi σ² bermula daripada (n − 1)s² dibahagi nilai χ² atas (2.5% di atasnya) hingga (n − 1)s² dibahagi nilai χ² bawah (2.5% di bawahnya); selang bagi σ ialah punca kuasa dua kedua-dua had. Ia tidak simetri di sekitar s.

Hasil tambah kuasa dua

(n − 1)s² = 10·11.1² = 1232

Had bagi σ²

1232/20.483 = 60.15
1232/3.247 = 379.5

Had bagi σ

σ = √379.5 = 19.48 µm

Jawapan

σ = 19.48 µm

Selang 95% bagi σ: [7.756, 19.48] µm.

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = 1.094

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Varians terkumpul

sp² = (9·7² + 20·12²)/29 = 114.5
sp = 10.7

Ralat piawai

SE = 10.7·√(1/10 + 1/21) = 4.112

Statistik ujian

t = (27.5 − 23)/4.112 = 1.094

Jawapan

t = 1.094

Dengan df = 29, nilai genting 5% dua sisi ialah 2.045; |t| lebih kecil, maka H₀ tidak ditolak.

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: L = 496.1

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Margin ralat

E = 1.645·4/√16 = 1.645

Had selang

L = 497.7 − 1.645 = 496.1

Jawapan

L = 496.1
11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = −0.9791

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 85/5 = 17

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −21
Syy = Σ(y − ȳ)² = 46

Pekali korelasi

r = −21/√(10·46) = −0.9791

Jawapan

r = −0.9791
12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: ŷ = 11.37

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 133/6 = 22.17

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 189

Garis regresi

b = 189/70 = 2.7
a = 22.17 − 2.7·7 = 3.267
ŷ = 3.267 + 2.7·x

Ramalan

ŷ = 3.267 + 2.7·3 = 11.37

Jawapan

ŷ = 11.37

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1