Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
2Soalan latihan
1.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 24, 37, 35, 30, 22, 60.
n = 6
s =
2.Statistik perihalanSukar
Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 100 dan sisihan piawai 12. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 90.4?
μ = 100σ = 12x = 90.4
P =
3.KebarangkalianSederhana
Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.35, 0.3, 0.2, 0.15
σ =
4.KebarangkalianSukar
11 komponen diuji, dan setiap satu gagal dengan kebarangkalian 0.1, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P paling banyak satu gagal?
n = 11p = 0.1
P =
5.Taburan normalSederhana
Jisim kotak adalah tak bersandar dan normal dengan min 12 kg dan sisihan piawai 0.8 kg. Cari kebarangkalian P bahawa jumlah jisim 12 daripadanya di bawah 146.8 kg. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.
μ = 12 kgσ = 0.8 kgn = 12< 146.8 kg
P =
6.Taburan normalSukar
Diameter lubang D adalah normal dengan min 25.02 mm dan sisihan piawai 0.01 mm. Diameter aci d adalah tak bersandar dan normal dengan min 25 mm dan sisihan piawai 0.015 mm. Aci yang dipilih secara rawak muat apabila D − d > 0. Cari kebarangkalian P bahawa ia muat. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.
lubang: μ = 25.02 mm, σ = 0.01 mmaci: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm
P =
7.Selang keyakinanSederhana
Satu sampel 11 item mempunyai min 96.5 dan sisihan piawai s = 4. Populasi lebih kurang normal. Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 90% untuk min.
n = 11x̄ = 96.5s = 490%t(10) = 1.812
E =
8.Selang keyakinanSukar
Dua baja diuji. Kumpulan petak 1: 18 petak, min hasil 40 kg, sisihan piawai 3.5 kg. Kumpulan petak 2: 13 petak, min 32.5 kg, sisihan piawai 7 kg. Andaikan varians sama (t terkumpul, df = n₁ + n₂ − 2). Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 90% untuk μ₁ − μ₂.
n₁ = 18x̄₁ = 40s₁ = 3.5n₂ = 13x̄₂ = 32.5s₂ = 790%t(29) = 1.699
E = kg
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
Dua kaedah pengajaran dibandingkan. Kumpulan 1: 23 pelajar, skor min 118.5, sisihan piawai 11. Kumpulan 2: 8 pelajar, skor min 104.2, sisihan piawai 12. Andaikan varians populasi sama dan gunakan ujian t dua sampel terkumpul. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ₁ = μ₂, dengan mengambil beza sebagai x̄₁ − x̄₂ (kumpulan 1 tolak kumpulan 2).
n₁ = 23x̄₁ = 118.5s₁ = 11n₂ = 8x̄₂ = 104.2s₂ = 12
t =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Ujian z satu sisi bagi H₀: μ = 50 terhadap H₁: μ < 50 dijalankan pada α = 0.01 dengan sampel 64; sisihan piawai diketahui ialah 4. Pada hakikatnya min ialah 48.65. Cari kuasa 1 − β ujian itu dalam peratus.
μ₀ = 50μ = 48.65σ = 4n = 64α = 0.01
1 − β = %
11.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Cari pekali penentuan r² bagi garis kuasa dua terkecil.
n = 5
r² =
12.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (1.5, 15) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.
n = 6(1.5, 15)
e =
3Larutan
1.Statistik perihalan
Jawapan: s = 13.74
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 208/6 = 34.67
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = (−10.67)² + 2.333² + 0.3333² + (−4.667)² + (−12.67)² + 25.33² = 943.3
Sisihan piawai
s = √(943.3/5) = 13.74
Jawapan
s = 13.74
2.Statistik perihalan
Jawapan: P = 0.2119
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = −0.8
Jadual normal piawai
Φ(−0.8) = 0.2119
P = 0.2119
Jawapan
P = 0.2119
3.Kebarangkalian
Jawapan: σ = 1.062
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Min
μ = 0·0.35 + 1·0.3 + 2·0.2 + 3·0.15 = 1.15
Min bagi kuasa dua
E(X²) = 0·0.35 + 1·0.3 + 4·0.2 + 9·0.15 = 2.45
Varians
Var(X) = 2.45 − 1.15² = 1.128
σ = √1.128 = 1.062
Jawapan
σ = 1.062
4.Kebarangkalian
Jawapan: P = 0.6974
Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Sifar dan satu kegagalan
P(X = 0) = 0.911 = 0.3138
P(X = 1) = 11·0.1·0.910 = 0.3835
Tambahkannya
P = 0.3138 + 0.3835 = 0.6974
Jawapan
P = 0.6974
5.Taburan normal
Jawapan: P = 0.8438
Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).
Taburan jumlah
μT = 144 kg, σT = 0.8·√12 = 2.771 kg
Piawaikan
z = (146.8 − 144)/2.771 = 1.01
Kebarangkalian
P = Φ(1.01) = 0.8438
Jawapan
P = 0.8438
6.Taburan normal
Jawapan: P = 0.8665
Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).
Taburan beza
μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.01803 mm
Piawaikan
z = (0 − 0.02)/0.01803 = −1.11
Kebarangkalian
P = 1 − Φ(−1.11) = 0.8665
Jawapan
P = 0.8665
7.Selang keyakinan
Jawapan: E = 2.185
Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.
Nilai genting
df = n − 1 = 10, t = 1.812
Margin ralat
E = 1.812·4/√11 = 2.185
Jawapan
E = 2.185
8.Selang keyakinan
Jawapan: E = 3.24 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Sisihan piawai terkumpul
sp² = (17·3.5² + 12·7²)/29 = 27.46
sp = 5.24
Margin ralat
E = 1.699·5.24·√(1/18 + 1/13) = 3.24
Jawapan
E = 3.24 kg
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: t = 3.097
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Varians terkumpul
sp² = (22·11² + 7·12²)/29 = 126.6
sp = 11.25
Ralat piawai
SE = 11.25·√(1/23 + 1/8) = 4.617
Statistik ujian
t = (118.5 − 104.2)/4.617 = 3.097
Jawapan
t = 3.097
Dengan df = 29, nilai genting 5% dua sisi ialah 2.045; |t| lebih besar, maka H₀ ditolak.
10.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: 1 − β = 64.58 %
Kuasa ujian: kuasa = 1 − β ialah kebarangkalian menolak H₀ apabila ia salah. Cari nilai pemotongan x̄c daripada μ₀ dan z_α, kemudian hitung kebarangkalian jatuh melepasi x̄c menggunakan min sebenar: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Min sampel genting
SE = 4/√64 = 0.5
x̄c = 50 − 2.326·0.5 = 48.84
z di bawah min sebenar
z = (48.84 − 48.65)/0.5 = 0.374
Kuasa
kuasa = P(Z < 0.374) = 64.58%
1 − β = 64.58%
Jawapan
1 − β = 64.58%
11.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r² = 0.9256
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 319/5 = 63.8
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 126
Syy = Σ(y − ȳ)² = 428.8
Pekali penentuan
r² = 126²/(40·428.8) = 0.9256
Jawapan
r² = 0.9256
Kira-kira 92.56% variasi dalam y diterangkan oleh garis itu.
12.Regresi linear & korelasi
Jawapan: e = −5.138
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 91/6 = 15.17
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −43.5
Garis regresi
b = −43.5/17.5 = −2.486
a = 15.17 − (−2.486)·3.5 = 23.87
ŷ = 23.87 − 2.486·x
Nilai ramalan
ŷ = 23.87 + (−2.486)·1.5 = 20.14
Reja
e = 15 − 20.14 = −5.138
Jawapan
e = −5.138
Titik itu terletak di bawah garis.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1