Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
2Soalan latihan
1.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 40, 21, 12, 48, 39, 23, 12.
n = 7
s =
2.Statistik perihalanSukar
Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 170 dan sisihan piawai 8. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 158?
μ = 170σ = 8x = 158
P =
3.KebarangkalianSederhana
Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.15, 0.35, 0.25, 0.25
σ =
4.KebarangkalianSukar
Satu ujian mempunyai 12 soalan aneka pilihan. Seorang pelajar yang meneka mendapat setiap satu betul dengan kebarangkalian 0.4, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P tepat 5 jawapan betul?
n = 12p = 0.4k = 5
P =
5.Taburan normalSederhana
berat beg bertaburan normal dengan min 250 g dan sisihan piawai 5 g. Berapakah pecahan yang terletak antara 242 dan 251.25 g? Berikan P sebagai perpuluhan.
μ = 250σ = 5x1 = 242x2 = 251.25
P =
6.Taburan normalSukar
Jisim X produk daripada barisan 1 dan Y daripada barisan 2 adalah tak bersandar dan normal: X mempunyai min 500 g dan sisihan piawai 8 g, Y mempunyai min 490 g dan sisihan piawai 6 g. Cari kebarangkalian P bahawa X lebih besar daripada Y. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
7.Selang keyakinanSederhana
Selang keyakinan 90% bagi suatu min, berdasarkan 36 cerapan dan σ yang diketahui, mempunyai margin ralat 6.8. Berapakah margin ralat E₂ jika kajian yang sama menggunakan 144 cerapan?
90%n₁ = 36E₁ = 6.8n₂ = 144
E₂ =
8.Selang keyakinanSukar
Sisihan piawai populasi ialah 35. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 95% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 3?
σ = 35E = 395%
n =
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
Satu sampel 16 pelajar mempunyai skor min 96.5 dan sisihan piawai sampel 10. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 96.5s = 10n = 16
t =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Ujian z satu sisi pada α = 0.01 mesti mengesan anjakan min sebanyak 3 unit dengan kuasa 80%. Sisihan piawai ialah 10. Cari saiz sampel minimum n.
α = 0.01kuasa = 80%δ = 3σ = 10zα = 2.326zβ = 0.842
n =
11.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Cari pekali penentuan r² bagi garis kuasa dua terkecil.
n = 5
r² =
12.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x yang manakah garis meramalkan ŷ = 21?
n = 6ŷ = 21
x =
3Larutan
1.Statistik perihalan
Jawapan: s = 14.44
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 195/7 = 27.86
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = 12.14² + (−6.857)² + (−15.86)² + 20.14² + 11.14² + (−4.857)² + (−15.86)² = 1251
Sisihan piawai
s = √(1251/6) = 14.44
Jawapan
s = 14.44
2.Statistik perihalan
Jawapan: P = 0.06681
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = −1.5
Jadual normal piawai
Φ(−1.5) = 0.06681
P = 0.06681
Jawapan
P = 0.06681
3.Kebarangkalian
Jawapan: σ = 1.02
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Min
μ = 1·0.15 + 2·0.35 + 3·0.25 + 4·0.25 = 2.6
Min bagi kuasa dua
E(X²) = 1·0.15 + 4·0.35 + 9·0.25 + 16·0.25 = 7.8
Varians
Var(X) = 7.8 − 2.6² = 1.04
σ = √1.04 = 1.02
Jawapan
σ = 1.02
4.Kebarangkalian
Jawapan: P = 0.227
Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Formula binomial
P(X = 5) = 792·0.45·0.67 = 792·0.01024·0.02799 = 0.227
Jawapan
P = 0.227
5.Taburan normal
Jawapan: P = 0.5439
Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.
Skor-z
z₁ = (242 − 250)/5 = −1.6
z₂ = (251.25 − 250)/5 = 0.25
Luas antara
P = Φ(0.25) − Φ(−1.6) = 0.5987 − 0.0548 = 0.5439
Jawapan
P = 0.5439
6.Taburan normal
Jawapan: P = 0.8413
Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).
Taburan beza
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
Piawaikan
z = (0 − 10)/10 = −1
Kebarangkalian
P = 1 − Φ(−1) = 0.8413
Jawapan
P = 0.8413
7.Selang keyakinan
Jawapan: E₂ = 3.4
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Nisbah margin
E₂/E₁ = (1.645/1.645)·√(36/144) = 0.5
Margin baharu
E₂ = 6.8·0.5 = 3.4
Jawapan
E₂ = 3.4
8.Selang keyakinan
Jawapan: n = 523
Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = (1.96·35/3)² = 522.9
Bundarkan ke atas
Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.
n = 523
Jawapan
n = 523
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: t = −1.4
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Ralat piawai
SE = 10/√16 = 10/4 = 2.5
Statistik ujian
t = (96.5 − 100)/2.5 = −1.4
Jawapan
t = −1.4
t0.025; df = 15 = 2.131
|t| < 2.131, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).
10.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: n = 112
Saiz sampel untuk ujian: untuk mengesan anjakan benar δ dengan kuasa 1 − β dalam ujian z satu sisi pada aras α, ralat piawai mesti memenuhi δ = (z_α + z_β)·σ/√n, maka n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², dibundarkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = ((2.326 + 0.842)·10/3)² = 111.5
Bundarkan ke atas
n = 112
Jawapan
n = 112
11.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r² = 0.9486
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 287/5 = 57.4
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 41
Syy = Σ(y − ȳ)² = 177.2
Pekali penentuan
r² = 41²/(10·177.2) = 0.9486
Jawapan
r² = 0.9486
Kira-kira 94.86% variasi dalam y diterangkan oleh garis itu.
12.Regresi linear & korelasi
Jawapan: x = 2.439
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 110/6 = 18.33
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −44
Garis regresi
b = −44/17.5 = −2.514
a = 18.33 − (−2.514)·3.5 = 27.13
ŷ = 27.13 − 2.514·x
Selesaikan untuk x
x = (21 − 27.13)/(−2.514) = 2.439
Jawapan
x = 2.439
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1