Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 27, 50, 60, 23, 27.

n = 5

s =

2.Statistik perihalanSukar

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 70 dan sisihan piawai 5. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 77.5?

μ = 70σ = 5x = 77.5

P =

3.KebarangkalianSederhana

Sebuah beg mengandungi 8 bebola merah dan 8 biru. Anda mengambil dua bebola tanpa memulangkan yang pertama. Berapakah kebarangkalian P kedua-duanya merah?

8 / 8

P =

4.KebarangkalianSukar

Satu ujian mempunyai 8 soalan aneka pilihan. Seorang pelajar yang meneka mendapat setiap satu betul dengan kebarangkalian 0.6, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P tepat 3 jawapan betul?

n = 8p = 0.6k = 3

P =

5.Taburan normalSederhana

Seret z supaya luas berlorek di bawah lengkung normal piawai, di sebelah kanan z, ialah 0.3300. Cari z hingga dua tempat perpuluhan.

A = 0.3300

z =

6.Taburan normalSukar

skor IQ bertaburan normal dengan min 100 markah dan sisihan piawai 15 markah. Seret titik pemotong supaya 95% teratas yang berlorek berada di sebelah kanannya. Cari titik pemotong x.

μ = 100 markahσ = 15 markah95%

x = markah

7.Selang keyakinanSederhana

Hayat bateri dua model telefon dibandingkan. Model 1: 100 telefon, min 59.5 j, sisihan piawai diketahui 15 j. Model 2: 40 telefon, min 57.5 j, sisihan piawai diketahui 13 j. Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 99% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 100x̄₁ = 59.5 hσ₁ = 15 hn₂ = 40x̄₂ = 57.5 hσ₂ = 13 h99%

E = h

8.Selang keyakinanSukar

Diameter 30 aci yang dimesin mempunyai sisihan piawai sampel 1 µm. Dengan mengandaikan diameter bertaburan normal, cari had atas σ selang keyakinan 95% bagi sisihan piawai populasi. Dengan df = 29, 2.5% taburan χ² terletak di bawah 16.047 dan 2.5% terletak di atas 45.722.

n = 30s = 1 µmχ² = 16.047, 45.722

σ = µm

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Satu sampel 100 pelajar mempunyai skor min 76.2 dan sisihan piawai sampel 5. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 76.2s = 5n = 100

t =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Satu sampel 16 ukuran mempunyai min 45.8. Sisihan piawai populasi ialah 10. Cari had bawah L selang keyakinan 99% bagi min.

x̄ = 45.8σ = 10n = 1699%

L =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.

n = 5Σx = 15Σy = 90Σx² = 55Σy² = 1700Σxy = 243

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x yang manakah garis meramalkan ŷ = 114?

n = 5ŷ = 114

x =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 16.53

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 187/5 = 37.4

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−10.4)² + 12.6² + 22.6² + (−14.4)² + (−10.4)² = 1093

Sisihan piawai

s = √(1093/4) = 16.53

Jawapan

s = 16.53

2.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.06681

Piawaikan

z = 1.5

Jadual normal piawai

Φ(1.5) = 0.9332

P = 1 − 0.9332 = 0.06681

Jawapan

P = 0.06681

3.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.2333

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pengambilan pertama dan kedua

P = 8/16 · 7/15 = 56/240 = 0.2333

Jawapan

P = 0.2333

4.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.1239

Formula binomial

P(X = 3) = 56·0.6³·0.4⁵ = 56·0.216·0.01024 = 0.1239

Jawapan

P = 0.1239

5.Taburan normal

Jawapan: z = 0.44

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = 1 − 0.3300 = 0.6700

Baca jadual-z secara terbalik

Cari 0.6700 di dalam jadual dan baca z.

z = 0.44

Jawapan

z = 0.44

6.Taburan normal

Jawapan: x = 75.4 markah

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0.05

z daripada jadual

z ≈ −1.64

Kembali kepada unit asal

x = 100 − 1.64·15 = 75.4 markah

Jawapan

x = 75.4 markah

7.Selang keyakinan

Jawapan: E = 6.555 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Anggaran titik

x̄₁ − x̄₂ = 59.5 − 57.5 = 2

Ralat piawai

SE = √(15²/100 + 13²/40) = 2.545

Margin ralat

E = 2.576·2.545 = 6.555

Jawapan

E = 6.555 h

Selang itu mengandungi 0, maka data tidak menunjukkan beza yang signifikan.

8.Selang keyakinan

Jawapan: σ = 1.344 µm

Selang bagi suatu varians: (n − 1)s²/σ² mempunyai taburan χ² dengan darjah kebebasan n − 1. Selang 95% bagi σ² bermula daripada (n − 1)s² dibahagi nilai χ² atas (2.5% di atasnya) hingga (n − 1)s² dibahagi nilai χ² bawah (2.5% di bawahnya); selang bagi σ ialah punca kuasa dua kedua-dua had. Ia tidak simetri di sekitar s.

Hasil tambah kuasa dua

(n − 1)s² = 29·1² = 29

Had bagi σ²

29/45.722 = 0.6343

29/16.047 = 1.807

Had bagi σ

σ = √1.807 = 1.344 µm

Jawapan

σ = 1.344 µm

Selang 95% bagi σ: [0.7964, 1.344] µm.

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = 2.4

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai

SE = 5/√100 = 5/10 = 0.5

Statistik ujian

t = (76.2 − 75)/0.5 = 2.4

Jawapan

t = 2.4

t_{0.025; df = 99} = 1.984

|t| > 1.984, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: L = 39.36

Margin ralat

E = 2.576·10/√16 = 6.44

Had selang

L = 45.8 − 6.44 = 39.36

Jawapan

L = 39.36

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = −0.9546

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Hasil tambah berpusat

S_xy = 243 − 15·90/5 = −27

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 1700 − 90²/5 = 80

Pekali korelasi

r = −27/√(10·80) = −0.9546

Jawapan

r = −0.9546

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: x = 21.96

Min

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 539/5 = 107.8

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 258

Garis regresi

b = 258/40 = 6.45

a = 107.8 − 6.45·21 = −27.65

ŷ = −27.65 + 6.45·x

Selesaikan untuk x

x = (114 − (−27.65))/6.45 = 21.96

Jawapan

x = 21.96

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1