Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
2Soalan latihan
1.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 43, 41, 51, 53, 26, 36, 25.
n = 7
s =
2.Statistik perihalanSukar
Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 100 dan sisihan piawai 5. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 96?
μ = 100σ = 5x = 96
P =
3.KebarangkalianSederhana
Dalam berapa cara N satu jawatankuasa 2 orang boleh dipilih daripada kumpulan 11? Susunan tidak penting.
n = 11k = 2
N =
4.KebarangkalianSukar
Satu permainan berharga €3 untuk dimain. Anda menang €12 dengan kebarangkalian 0.25 dan €60 dengan kebarangkalian 0.01; jika tidak anda tidak menang apa-apa. Pertaruhan tidak dikembalikan. Cari jangkaan keuntungan bersih E(G) setiap permainan.
pertaruhan = €3€12: p = 0.25€60: p = 0.01
E(G) = €
5.Taburan normalSederhana
Seret z supaya luas berlorek antara −z dan z di bawah lengkung normal piawai ialah 0.9729. Cari z hingga dua tempat perpuluhan.
A = 0.9729
z =
6.Taburan normalSukar
skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 65 markah dan sisihan piawai 10 markah. Seret titik pemotong supaya 40% teratas yang berlorek berada di sebelah kanannya. Cari titik pemotong x.
μ = 65 markahσ = 10 markah40%
x = markah
7.Selang keyakinanSederhana
Tekanan darah 20 pesakit diukur sebelum dan selepas rawatan. Beza d = sebelum − selepas (mmHg) mempunyai min 5.8 dan sisihan piawai 5.8. Cari had atas selang keyakinan 90% untuk min beza.
n = 20d̄ = 5.8sd = 5.890%t(19) = 1.729
had atas = mmHg
8.Selang keyakinanSukar
Sisihan piawai populasi ialah 10. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 95% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 2?
σ = 10E = 295%
n =
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
Dua kaedah pengajaran dibandingkan. Kumpulan 1: 14 pelajar, skor min 104, sisihan piawai 7.5. Kumpulan 2: 17 pelajar, skor min 97.4, sisihan piawai 2. Andaikan varians populasi sama dan gunakan ujian t dua sampel terkumpul. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ₁ = μ₂, dengan mengambil beza sebagai x̄₁ − x̄₂ (kumpulan 1 tolak kumpulan 2).
n₁ = 14x̄₁ = 104s₁ = 7.5n₂ = 17x̄₂ = 97.4s₂ = 2
t =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Satu sampel 81 ukuran mempunyai min 51.1. Sisihan piawai populasi ialah 4. Cari had bawah L selang keyakinan 90% bagi min.
x̄ = 51.1σ = 4n = 8190%
L =
11.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Cari pekali penentuan r² bagi garis kuasa dua terkecil.
n = 6
r² =
12.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x yang manakah garis meramalkan ŷ = 32?
n = 5ŷ = 32
x =
3Larutan
1.Statistik perihalan
Jawapan: s = 11.06
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 275/7 = 39.29
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = 3.714² + 1.714² + 11.71² + 13.71² + (−13.29)² + (−3.286)² + (−14.29)² = 733.4
Sisihan piawai
s = √(733.4/6) = 11.06
Jawapan
s = 11.06
2.Statistik perihalan
Jawapan: P = 0.7881
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = −0.8
Jadual normal piawai
Φ(−0.8) = 0.2119
P = 1 − 0.2119 = 0.7881
Jawapan
P = 0.7881
3.Kebarangkalian
Jawapan: N = 55
Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Gabungan
C(11, 2) = (11·10)/(2·1) = 55
Jawapan
N = 55
4.Kebarangkalian
Jawapan: E(G) = 0.6 €
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Hasil bersih
G: 9 (p = 0.25), 57 (p = 0.01), −3 (p = 0.74)
Nilai jangkaan
E(G) = 9·0.25 + 57·0.01 − 3·0.74 = 0.6 €
Jawapan
E(G) = 0.6 €
Nilai positif bermaksud anda memperoleh wang secara purata.
5.Taburan normal
Jawapan: z = 2.21
Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri z
Φ(z) = (1 + 0.9729)/2 = 0.9864
Baca jadual-z secara terbalik
Cari 0.9864 di dalam jadual dan baca z.
z = 2.21
Jawapan
z = 2.21
6.Taburan normal
Jawapan: x = 67.5 markah
Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri
Φ(z) = 0.6
z daripada jadual
z ≈ 0.25
Kembali kepada unit asal
x = 65 + 0.25·10 = 67.5 markah
Jawapan
x = 67.5 markah
7.Selang keyakinan
Jawapan: had atas = 8.042 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Nilai genting
df = 19, t = 1.729
Margin ralat
E = 1.729·5.8/√20 = 2.242
Selang
5.8 ± 2.242 → [3.558, 8.042]
Jawapan
had atas = 8.042 mmHg
8.Selang keyakinan
Jawapan: n = 97
Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = (1.96·10/2)² = 96.04
Bundarkan ke atas
Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.
n = 97
Jawapan
n = 97
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: t = 3.492
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Varians terkumpul
sp² = (13·7.5² + 16·2²)/29 = 27.42
sp = 5.237
Ralat piawai
SE = 5.237·√(1/14 + 1/17) = 1.89
Statistik ujian
t = (104 − 97.4)/1.89 = 3.492
Jawapan
t = 3.492
Dengan df = 29, nilai genting 5% dua sisi ialah 2.045; |t| lebih besar, maka H₀ ditolak.
10.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: L = 50.37
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Margin ralat
E = 1.645·4/√81 = 0.7311
Had selang
L = 51.1 − 0.7311 = 50.37
Jawapan
L = 50.37
11.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r² = 0.7516
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 357/6 = 59.5
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 27.5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 57.5
Pekali penentuan
r² = 27.5²/(17.5·57.5) = 0.7516
Jawapan
r² = 0.7516
Kira-kira 75.16% variasi dalam y diterangkan oleh garis itu.
12.Regresi linear & korelasi
Jawapan: x = 9.143
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 105/5 = 21
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 140
Garis regresi
b = 140/40 = 3.5
a = 21 − 3.5·6 = 0
ŷ = 0 + 3.5·x
Selesaikan untuk x
x = (32 − 0)/3.5 = 9.143
Jawapan
x = 9.143
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1