Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
2Soalan latihan
1.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 57, 40, 51, 52, 24, 48, 27.
n = 7
s =
2.Statistik perihalanSukar
Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 60 dan sisihan piawai 8. Cari skor-z z bagi skor 76.
μ = 60σ = 8x = 76
z =
3.KebarangkalianSederhana
Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.2, 0.25, 0.35, 0.2
Var(X) =
4.KebarangkalianSukar
X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 5X + 4. Cari sisihan piawai σY bagi Y.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.25, 0.35, 0.1, 0.3Y = 5X + 4
σY =
5.Taburan normalSederhana
Jisim penumpang dengan bagasi adalah tak bersandar dan normal dengan min 85 kg dan sisihan piawai 12 kg. Cari kebarangkalian P bahawa jumlah jisim 12 daripadanya melebihi 1082 kg. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 12> 1082 kg
P =
6.Taburan normalSukar
skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 65 markah dan sisihan piawai 10 markah. Seret titik pemotong supaya 80% teratas yang berlorek berada di sebelah kanannya. Cari titik pemotong x.
μ = 65 markahσ = 10 markah80%
x = markah
7.Selang keyakinanSederhana
Satu sampel 25 item mempunyai min 55.5 dan sisihan piawai s = 13.5. Populasi lebih kurang normal. Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 99% untuk min.
n = 25x̄ = 55.5s = 13.599%t(24) = 2.797
E =
8.Selang keyakinanSukar
Satu kajian rintis mencadangkan bahawa kira-kira 0.4 produk adalah cacat. Berapa banyak produk n yang mesti diperiksa supaya selang keyakinan 95% bagi perkadaran mempunyai margin ralat selebar-lebarnya 0.04?
p ≈ 0.4E = 0.0495%
n =
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
8 pekerja mengambil ujian menaip sebelum dan selepas kursus latihan. Bagi setiap orang beza d = selepas − sebelum (perkataan seminit) direkodkan. Min beza ialah −4.45 dan sisihan piawai beza ialah 8.4. Cari statistik ujian berpasangan t bagi H₀: μd = 0.
n = 8d̄ = −4.45sd = 8.4
t =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Ujian z satu sisi pada α = 0.01 mesti mengesan anjakan min sebanyak 2 unit dengan kuasa 95%. Sisihan piawai ialah 13. Cari saiz sampel minimum n.
α = 0.01kuasa = 95%δ = 2σ = 13zα = 2.326zβ = 1.645
n =
11.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Cari pekali penentuan r² bagi garis kuasa dua terkecil.
n = 5
r² =
12.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (3.5, 66) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.
n = 5(3.5, 66)
e =
3Larutan
1.Statistik perihalan
Jawapan: s = 12.85
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 299/7 = 42.71
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = 14.29² + (−2.714)² + 8.286² + 9.286² + (−18.71)² + 5.286² + (−15.71)² = 991.4
Sisihan piawai
s = √(991.4/6) = 12.85
Jawapan
s = 12.85
2.Statistik perihalan
Jawapan: z = 2
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = (76 − 60)/8 = 2
Jawapan
z = 2
3.Kebarangkalian
Jawapan: Var(X) = 1.048
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Min
μ = 1·0.2 + 2·0.25 + 3·0.35 + 4·0.2 = 2.55
Min bagi kuasa dua
E(X²) = 1·0.2 + 4·0.25 + 9·0.35 + 16·0.2 = 7.55
Varians
Var(X) = 7.55 − 2.55² = 1.048
Jawapan
Var(X) = 1.048
4.Kebarangkalian
Jawapan: σY = 5.804
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Serakan X
μ = 2.45, Var(X) = 1.347, σX = 1.161
Perubahan linear
σY = |5|·1.161 = 5.804
Jawapan
σY = 5.804
Min memang berubah: E(Y) = 5·2.45 + 4 = 16.25.
5.Taburan normal
Jawapan: P = 0.06681
Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).
Taburan jumlah
μT = 1020 kg, σT = 12·√12 = 41.57 kg
Piawaikan
z = (1082 − 1020)/41.57 = 1.5
Kebarangkalian
P = 1 − Φ(1.5) = 0.06681
Jawapan
P = 0.06681
6.Taburan normal
Jawapan: x = 56.6 markah
Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri
Φ(z) = 0.2
z daripada jadual
z ≈ −0.84
Kembali kepada unit asal
x = 65 − 0.84·10 = 56.6 markah
Jawapan
x = 56.6 markah
7.Selang keyakinan
Jawapan: E = 7.552
Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.
Nilai genting
df = n − 1 = 24, t = 2.797
Margin ralat
E = 2.797·13.5/√25 = 7.552
Jawapan
E = 7.552
8.Selang keyakinan
Jawapan: n = 577
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
Selesaikan untuk n
n = 1.96²·0.4·0.6/0.04² = 576.2
Bundarkan ke atas
n = 577
Jawapan
n = 577
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: t = −1.498
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Ralat piawai bagi min beza
SE = 8.4/√8 = 2.97
Statistik ujian
t = −4.45/2.97 = −1.498
Jawapan
t = −1.498
Dengan df = 7, nilai genting 5% dua sisi ialah 2.365; |t| lebih kecil, maka H₀ tidak ditolak.
10.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: n = 667
Saiz sampel untuk ujian: untuk mengesan anjakan benar δ dengan kuasa 1 − β dalam ujian z satu sisi pada aras α, ralat piawai mesti memenuhi δ = (z_α + z_β)·σ/√n, maka n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², dibundarkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = ((2.326 + 1.645)·13/2)² = 666.2
Bundarkan ke atas
n = 667
Jawapan
n = 667
11.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r² = 0.8929
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 103/5 = 20.6
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −10
Syy = Σ(y − ȳ)² = 11.2
Pekali penentuan
r² = −10²/(10·11.2) = 0.8929
Jawapan
r² = 0.8929
Kira-kira 89.29% variasi dalam y diterangkan oleh garis itu.
12.Regresi linear & korelasi
Jawapan: e = −2.1
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 393/5 = 78.6
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 70
Garis regresi
b = 70/10 = 7
a = 78.6 − 7·5 = 43.6
ŷ = 43.6 + 7·x
Nilai ramalan
ŷ = 43.6 + 7·3.5 = 68.1
Reja
e = 66 − 68.1 = −2.1
Jawapan
e = −2.1
Titik itu terletak di bawah garis.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1